Pentru omogenă ecuație diferențială liniară de ordinul n
Setul de n liniar soluții independente ale ecuației omogene diferențiale liniare de n-lea ordin y1 (x), y2 (x). yn (x) se numește un sistem fundamental de soluții.
Pentru ecuații liniare diferențiale omogene, cu coeficienți constanți, există un algoritm simplu pentru construirea unui sistem fundamental de soluții. Căutăm o soluție în forma y (x) = exp (lx):
exp (lx) (n) + a1 exp (lx) (n-1) +. + An- 1 exp (lx) „+ o exp (lx) =
= (L n + a1 l n -1 +. + An- 1 l + o) exp (lx) = 0,
și anume numărul l este rădăcina ecuației caracteristice
l n + a1 l n -1 +. + An- 1 l + o = 0.
Partea stângă a ecuației caracteristice se numește polinomul caracteristic unei ecuații diferențiale liniare:
P (l) = l n + a1 l n -1 +. + An- 1 l + o.
Astfel, problema rezolvării unei ecuații omogene liniară de ordinul n-lea cu coeficienți constanți se reduce la rezolvarea unei ecuații algebrice.
Exemplul 1. Sistemul fundamental de soluții și o soluție comună pentru cazul rădăcinilor reale simple.
Exemplul 2 sistem fundamental de soluții și o soluție comună pentru cazul mai multor rădăcini reale.
Exemplul 3. Un sistem fundamental de soluții și o soluție generală pentru cazul rădăcinilor complexe n simple.
Exemplul 4. Sistemul fundamental de soluții și o soluție comună pentru cazul rădăcinilor complexe simple. rădăcini imaginari.
Exemplul 5. Sistemul fundamental de soluții și o soluție comună pentru cazul mai multor rădăcini complexe.
Exemplul 6. Soluția problemei Cauchy.