ecuație diferențială Omogen doua ordine liniară, cu coeficienți constanți ai ecuației formă se numește
unde p și q - sunt constante.
Faptul că această ecuație de ordinul doi, indică prezența derivata a doua a funcției necunoscute și uniformitatea acesteia - un zero în partea dreaptă. Coeficienții constante se numesc valori deja menționate mai sus.
Pentru a rezolva ecuația omogenă liniare diferențiale de ordinul doi cu coeficienți constanți. trebuie să rezolve mai întâi așa-numita ecuație caracteristică a formei
care, după cum se vede, este ecuația pătratică convențională.
În funcție de soluțiile ecuației caracteristice, există trei moduri diferite de a rezolva ecuația omogenă liniare diferențiale de ordinul doi cu coeficienți constanți. cine se confruntă acum.
Rădăcinile ecuației caracteristice - reale și distincte
Cu alte cuvinte ,. În acest caz, ecuația soluție omogenă liniară a doua diferență de ordine cu coeficienți constanți ai formei
Exemplul 1 Pentru a rezolva ecuația diferențială liniară omogenă
Decizie. Ecuația caracteristică este de forma, rădăcinile sale, și - reale și diferite. Corespunzător soluții particulare și. Soluția generală a diferențialului ia forma uraveniya
Rădăcinile uraveniya caracteristic - reale și egale
Ie. În acest caz, ecuația soluție omogenă liniară a doua diferență de ordine cu coeficienți constanți ai formei
Exemplul 2. Solve ecuație diferențială omogenă liniară
Decizie. Ecuația caracteristică are rădăcini egale. Corespunzător soluții particulare și. Soluția generală a diferențialului ia forma uraveniya
Rădăcinile ecuației caracteristice - complexe
Adică ,,,. În acest caz, ecuația soluție omogenă liniară a doua diferență de ordine cu coeficienți constanți ai formei
Exemplul 3. Solve ecuație diferențială omogenă liniară
Decizie. Ecuația caracteristică are rădăcini complexe. În consecință. Soluția generală a diferențialului ia forma uraveniya
Notă importantă. Teoria ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul doi afirmă că se obțin soluția generală indicată mai sus a ecuației când și - oricare două soluții particulare liniar independente ale ecuației.
Soluții independente pot liniar fi verificate cu ajutorul Wronskian:
Dacă Wronski determinant nu este zero. - soluțiile sunt liniar independente. În toate exemplele de mai sus soluțiile preparate sunt liniar independente.