Definiție 1. Ecuația de forma:
în cazul în care continuă asupra funcției interval se numește ecuație diferențială liniară (LDU) al doilea ordin. Dacă toate diferența. atunci ecuația (1), se numește ecuație diferențială omogenă liniar (liniar ordinar ecuatii diferentiale):
Dacă ecuația (1), se numește ecuație liniară diferențială neomogenă (LNDU).
Definiție 2. Două funcții și sunt numite liniar dependente de un interval, dacă pentru toate raportul lor este egală cu o valoare constantă, adică, În caz contrar, în cazul în care funcțiile sunt numite independente liniar pe intervalul.
3. În cazul în care definiția soluții liniar independente de ecuații liniare diferențiale ordinare, ele formează un sistem fundamental de soluții ale ecuației.
Teorema 1. Dacă soluțiile liniar independente liniare ecuațiilor diferențiale ordinare (2) pe un interval, apoi combinație lor liniară
și în care constantele arbitrare, soluția generală a acestei ecuații.
Teorema 2. Soluția generală LNDU a doua comandă (1) reprezintă suma totală a soluțiilor corespunzătoare liniare ecuațiilor diferențiale ordinare (2) și orice soluții LNDU particulare (1), adică Soluție generală LNDU (1).
Teorema 3. În cazul în care o anumită soluție LNDU:
o anumită LNDU soluție:
este o anumită soluție LNDU:
Omogeni ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți
Definiție 1. Ecuația formei
unde numere reale, numită ecuație liniară omogenă diferențială (liniare ecuațiilor diferențiale ordinare) al doilea ordin cu coeficienți constanți.
Metoda lui Euler pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale ordinare liniare cu coeficienți constanți
soluții particulare ale acestei ecuații se obține prin înlocuirea:
Substituind în ecuația (3) expresia (*), obținem:
Ecuația (4) este caracteristică pentru ecuația (3). Este o ecuație pătratică, astfel încât în funcție de valoarea discriminantului trei cazuri.
1) Atunci rădăcinile ecuației caracteristice (4) real și diferite - Ei vor da două soluții liniar independente :. Prin urmare, în acest caz, teorema 1, soluția generală a ecuației (3) poate fi scrisă ca:
2) În acest caz, Prin urmare, o soluție pentru ecuația (3) va fi. Ca un al doilea liniar independent de primul, puteți lua funcția. Prin urmare, în acest caz, teorema 1, soluția generală a ecuației (3) poate fi scrisă ca:
3) În acest caz, rădăcinile ecuației (4) complex conjugatul: Apoi, liniar soluții independente pot prelua funcțiile și, prin urmare, în acest caz, teorema 1, soluția generală a ecuației (3) poate fi scrisă ca:
soluţii Exemple
Exemplul 1. Găsiți sistemul fundamental de soluții și soluția generală:
Decizie. Substituind în ecuația dată, obținem ecuația caracteristică:
Având în vedere că rădăcinile sunt reale și diferite, sistemul fundamental de soluții ale acestei ecuații va face funcțiile:
Apoi, soluția generală a acestei ecuații poate fi scris ca o combinație liniară:
Exemplul 2: rezolva ecuația:
Decizie. Caracteristica ecuația:
Rădăcinile acestei ecuații sunt reale și egale cu:
Apoi, sistemul fundamental de soluții ale acestei ecuații va face funcțiile:
Soluția generală poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor soluții:
Exemplul 3. Rezolvați ecuația:
Decizie. Caracteristica ecuația:
Rădăcinile acestei ecuații sunt conjugați complexe:
sistem fundamental de soluții ale acestei ecuații va face funcțiile:
Soluția generală poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor funcții:
Exemplul 4. Rezolva problema Cauchy:
Decizie. Caracteristica ecuația:
Rădăcinile acestei ecuații sunt reale și egale:
sistem fundamental de soluții ale acestei ecuații va face funcțiile:
Soluția generală poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor funcții:
Vom găsi o soluție specială, care îndeplinește condițiile inițiale și prima descoperire:
Am înființat un sistem de două ecuații, înlocuind în soluția generală
Înlocuim valorile găsite în soluția generală:
aceasta va fi soluția problemei Cauchy.
Găsiți sistem fundamental de soluții: