Sisteme de ecuații liniare, în care toți termenii sunt constante la zero, nazyvayutsyaodnorodnymi:
Orice sistem omogen întotdeauna consecvent, deoarece are întotdeauna o soluție de zero (banal). Se pune întrebarea, în ce condiții un sistem omogen va avea o soluție non-triviale.
Sistemul 5.2.Odnorodnaya Teorema are o soluție trivial dacă și numai dacă rangul matricei principal este mai mic decât numărul de necunoscute sale.
Corolar. sistem omogen pătrat are o soluție nontrivial dacă și numai dacă determinantul matricei sistemului de bază nu este zero.
Exemplul 5.6. Se determină valoarea parametrului l, pentru care sistemul are soluții netriviale, și pentru a găsi aceste soluții:
Decizie. Acest sistem va avea o soluție nontrivial dacă determinantul matricei principale este egal cu zero:
Astfel, sistemul este non-trivială când l = 3 și l = 2. Dacă matricea l = 3 rang al sistemului de bază este egal cu 1. Apoi, lăsând doar o singură ecuație și presupunând că y = a și z = b. Obținem x = b-o. și anume
Când matricea l = 2 Rank sistem principal este egal cu 2. Apoi, alegând ca bază minoră:
Obținem un sistem simplificat
Ca atare, găsim că x = z / 4, y = z / 2. Presupunând că z = 4a. obținem
Setul de toate soluțiile sistemului omogen are o lineynymsvoystvom foarte importantă. în cazul în care coloanele x1i X2 - soluțiile sistemului omogen AX = 0. apoi orice combinație liniară de AX1 + bX2takzhe este o soluție a acestui sistem. Într-adevăr, din moment ce 0 = AX1 și AX2 = 0. atunci A (AX1 + BX2) = aAX1 + bAX2 = a · 0 + b · 0 = 0. Este din cauza acestei proprietăți, în cazul în care sistemul liniar are mai mult de o soluție, atunci aceste decizii ar fi infinit.
Coloane independente E1 liniar. E2. ..., Ek. sunt soluții ale sistemului omogen se numește un sistem fundamental de soluții ale sistemului omogen de ecuații liniare, în cazul în care soluția totală a acestui sistem poate fi scris ca o combinație liniară a coloanelor:
Dacă sistemul omogen are o n variabilă, iar rangul r este matricea sistemului principal. atunci k = n-r.
Exemplul 5.7. Găsiți un sistem fundamental de soluții de următorul sistem de ecuații liniare:
Decizie. Am găsit rangul de matricea principală a sistemului:
Astfel, o multitudine de soluții la acest sistem de ecuații este un subspatiu liniar de dimensiune n-r = 5-2 = 3. Am ales ca bază minoră
Apoi, lăsând doar ecuațiile de bază (restul va fi o combinație liniară a acestor ecuații) și variabilele de bază (celelalte așa-numitele variabile, libere transporta peste la dreapta), obținem în sistem simplificat de ecuații:
Presupunând că a = 1, b = c = 0, obținem prima soluție de bază; setarea b = 1, a = c = 0, obținem a doua soluție de bază; presupunând c = 1, a = b = 0, obținem a treia soluție de bază. Ca rezultat, sistem fundamental de soluții normale ia forma
Cu utilizarea sistemului fundamental al soluției generale a sistemului omogen poate fi scris ca
Remarcăm unor proprietăți ale soluțiilor de neomogene liniare ecuație AX = B, și corelarea lor corespunzătoare ecuațiile de sistem omogen AX = 0.
Soluția generală a sumei sistemyravno neomogenă a soluției generale a sistemului corespunzător AX omogen = 0 și orice soluție particulară a sistemului neomogen. Într-adevăr, să Y0 soluție specială arbitrară a sistemului neomogen, și anume AY0 = B. și Y - soluția generală a sistemului neomogen, adică AY = B. Scăzând o ecuație de celălalt, obținem
A (Y-Y0) = 0; Y-Y0 este soluția generală a sistemului corespunzător AX omogen = 0. Prin urmare, Y-Y0 = X. sau Y = Y0 + X. QED.
Lăsați sistem heterogen are forma AX = B1 + B2. Apoi putem scrie soluția generală a acestui sistem în formă de X = X1 + X2. unde AX1 = B1i AX2 = B2. Această proprietate exprimă proprietatea universală a tuturor sistemelor liniare generale (algebrice, diferențiale, funcționale etc.). În fizică, această proprietate se numește principiul superpoziției. în electronică și inginerie electrică - principiul superpoziției. De exemplu, în teoria circuitelor electrice liniare în orice circuit curent poate fi obținut ca sumă algebrică a curenților produși de fiecare sursă de energie separat.