distribuție binomială (folosind o distribuție Bernoulli) permite, în special, să stabilească un număr de apariții ale evenimentului A este cel mai probabil. Formula pentru numărul cel mai probabil de succese (apariții ale evenimentului) este:
Din moment. aceste limite diferă de 1. Prin urmare. fiind un întreg, poate lua orice valoare atunci când numărul întreg (). adică, atunci când (și, prin urmare) nu este un număr întreg, sau două valori ca un întreg.
Exemplu. Cu unelte automate vârful susceptibile de a fi lovit de țintă în mișcare rapidă este 0.9. Găsiți numărul cel mai probabil de hit-uri cu 50 de fotografii.
Decizie. Aici. Prin urmare, avem inegalitățile:
Exemplu. Aceste piese standard produse de verificare a calității continue a arătat că mariajul medie este de 7,5%. Se determină numărul cel mai probabil de piese destul de care pot fi reparate în partid de 39 de bucăți.
Decizie. Notând probabilitatea de piese care pot fi reparate prin eliberare. avem și (primirea pieselor defecte și pentru a obține piese care pot fi reparate - evenimente opuse). Deoarece există n = 39, numărul necesar poate fi găsit de inegalitățile:
Prin urmare, numărul cel mai probabil de piese defecte este de 36 sau 37.
Inegalități pentru numărul cel mai probabil de succese și permite rezolvarea problemei inverse: având în vedere valoarea cunoscută a p și definește numărul n total al tuturor testelor.
Exemplu. La ce număr de fotografii numărul cel mai probabil de hit-uri este de 16, în cazul în care probabilitatea de a lovi o singură fotografie este 0.7?
Astfel, numărul de fotografii poate fi aici 22 sau 23.
Cu un număr mare de încercări și n probabilitate mică p formula Bernoulli incomod de utilizat, de exemplu, este dificil de calculat. În acest caz, pentru a calcula probabilitatea ca un test de n (n - mare) k eveniment se întâmplă din nou, folosind formula Poisson:
- numărul mediu de apariții ale evenimentului în n încercări.
Această formulă oferă o aproximare satisfăcătoare pentru u. La formula Laplace recomandată mai mare (DeMoivre-Laplace). Evenimente pentru care formula aplicabile Poisson, numite rare. deoarece probabilitatea lor este foarte mică (de obicei, aproximativ 0,001-0,0001).
Exemplu. Aparatul este alcătuit din 1000 de elemente care funcționează în mod independent unul față de celălalt. Probabilitatea de defectare a oricărui element în timpul T este egal cu 0,002. Găsiți probabilitatea ca timpul T a refuzat exact trei elemente.
Decizie. Prin ipoteză, având în vedere :.
Exemplu. Planta a trimis 500 de bază de produse. Probabilitatea de deteriorare a mărfurilor în tranzit 0,004. Găsiți probabilitatea ca cel puțin trei elemente deteriorate în tranzit.
Decizie. Prin ipoteză, având în vedere :.
Conform teoremei plus
Exemplu. A se păstra obține 1000 de sticle de apă minerală. Probabilitatea ca în timpul transportului sticla spartă va fi egal cu 0,003. Găsiți probabilitatea ca magazinul va primi mai mult de două sticle sparte.
Decizie. Prin ipoteză, având în vedere :.
Să presupunem că, în fiecare caz independent de testare A poate să apară cu probabilitate. (condiții de proces Bernoulli). Notam ca și mai înainte, prin exact probabilitatea ocurentei A în testele. În plus, lăsați - probabilitatea ca numărul de apariții ale unui eveniment A este între și.
Teorema Laplace locală.
Dacă n - este mare și p - este diferit de 0 și 1, atunci
în cazul în care - funcția Gauss (funcția este intabulat, tabelul poate fi descărcat de pe pagina de formulele teoriei probabilității).