Zona figurii curbilinie în coordonatele carteziene
Zona trapez curbiliniu delimitate deasupra graficului y = f (x). stânga și dreapta - dreapta x = a și x = b, respectiv, de mai jos - axa Ox. Se calculează cu formula
Zona trapez curbat delimitat grafic dreapta x = φ (y). sus și de jos - y = d = y drepte și c, respectiv, spre stânga - axa Oy.
Zona figurii curbilinii delimitate de sus prin graficul y2 = f2 (x). Bottom - graficul unei funcții y1 = f1 (x). la stânga și la dreapta - dreapta x = a și x = b.
Zona figurii curbilinie delimitate de stânga și dreapta graficele funcțiilor x1 = φ1 (y) și x2 = φ2 (y). sus și de jos - drepte și y = d y = c, respectiv:
Considerați cazul în care linia care delimitează trapezului curbată superioară, dată de ecuațiile parametrice x = φ1 (t). y = φ2 (t). unde α ≤ t ≤ β. φ1 (α) = a. φ1 (β) = b. Aceste ecuații definesc o y funcție = f (x) în intervalul [a, b]. Zona trapez curbat se calculează cu formula:
Zona în coordonate polare
Luați în considerare un OAB sector curbat. delimitate de o linie definită de ecuația ρ = ρ (cp) în coordonatele polare, cele două raze OA și OB. pentru care cp = α. φ = β.
Sectorul OMK-împărțit în sectoare elementare 1 Mk (k = 1, ..., n. M0 = A. Mn = B). Notăm unghiul dintre grinzi δφk OMK-1 și OMK. formând cu polare unghiurile axelor φk-1 și φk respectiv. Fiecare dintre cele elementare sectoare OMK-1 Mk înlocui sectorul circular cu raza ρk = ρ (φ'k). în care φ'k - unghiul cp din intervalul [φk-1. φk] și un unghi de δφk central. Zona este dată de ultimul sector.
Ea exprimă zona de „pas“ a sectorului, aproximativ în locul OAB sectorului.
zona Sector OAB este limita zonei "pasul" a sectorului ca n → ∞ și λ = δφk max → 0.
Lungimea arcului curbei
Lăsați intervalul [a, b] funcția diferențiabilă definită y = f (x). al cărui grafic este arc. Segmentul [a, b] este împărțit în n părți de puncte x1. x2. ..., xn-1. Aceste puncte corespund punctului M1. M2. ..., Mn-1 a arcului, conectându-le printr-o linie întreruptă, care se numește o linie întreruptă înscrisă în arc. Perimetrul linia întreruptă notată cu sn. care este
Definiția. Lungimea arcului este linia limită a perimetrului poligonului înscrise în ea, atunci când numărul de unități de Mk-1, Mk crește nelimitat și lungimea celei mai lungi dintre ele la zero:
în cazul în care λ - lungimea celui mai lung link.
Contam lungimea arcului de punct său, de exemplu, A. Să presupunem că la punctul M (x, y) este egală cu lungimea arcului s. și punctul M „(x + δ x, y + Dy) lungimea arcului este egală cu s + δs. unde, i> δs - lungimea arcului. Din triunghiul MNM „găsi lungimea corzii :.
Din considerente geometrice care
este un arc infinitezimal a curbei și înăsprirea echivalentul său coardă.
Transforma formulă exprimând lungimea coardei:
Luând limita în această ecuație, obținem expresia derivata funcția s = s (x).
din care sunt
Această formulă exprimă diferențiala arcului unei curbe plane și are o semnificație geometrică simplă. Ea exprimă teorema lui Pitagora pentru un triunghi infinitezimale MTN (DS = MT.).
Curba arc spațială Differential definită prin formula
Luați în considerare linia arc spațială definită prin ecuațiile parametrice
unde α ≤ t ≤ β. φi (t) (i = 1, 2, 3) - funcția diferențiabilă t argument.
Integrarea acestei ecuații peste intervalul [α, β], o formulă pentru calculul lungimii arcului liniei
În cazul în care linia se află în planul Oxy. apoi z = 0 pentru toate t∈ [α, β]. prin urmare
Când linia plată este definită de ecuația y = f (x) (a≤x≤b), unde f (x) - funcția diferențiabilă, această din urmă formula devine
Să linie plană dată de ecuația ρ = ρ (cp) (α≤φ≤β) în coordonate polare. În acest caz, avem linie de ecuații parametrice x = ρ (cp) cos φ. y = ρ (φ) φ păcat. în care parametrul este luat ca unghiul polar cp. ca
formula care exprimă lungimea arcului a liniei ρ = ρ (cp) (α≤φ≤β) în coordonate polare, este de forma
Volumul corpului
Găsim volumul corpului, dacă știm aria oricărei secțiune transversală a corpului perpendicular pe anumită direcție.
Impartim acest corp în straturi elementare planuri perpendiculare pe axa Ox și definite de ecuațiile x = const. Pentru orice x∈ fix [a, b] zona cunoscută S = S (x) secțiunea transversală a corpului.
Volumul cilindrului menționat este exprimată prin δvk elementar = E (ξk) δxk. Formăm suma tuturor acestor produse
care este suma integralei acestei funcții S = S (x) în intervalul [a, b]. Exprimă volumul corpului în trepte, format din cilindrii elementare și aproximativ un echivalent anumit corp.
Domeniul de aplicare al organismului numit limita volumul corpului menționat la trepte λ → 0. în cazul în care λ - lungimea maximă a segmentelor elementare δxk. V denota volumul acestui corp, atunci, prin definiție,
Pe de altă parte,
În consecință, volumul corpului secțiunii transversale predeterminate este calculată conform formulei
În cazul în care corpul este format în jurul unei axe de rotație ox trapez curbiliniu delimitate deasupra liniei continue arc y = f (x). în cazul în care a≤x≤b. apoi S (x) = πf 2 (x), iar acesta din urmă formula devine:
Notă. corp deplasare obținută prin rotirea unui trapez curbat delimitat grafic dreapta x = φ (y) (c ≤ x ≤ d), rotunde axa Oy se calculează cu formula:
Aria suprafeței de rotație
Să considerăm o suprafață generată prin rotirea unei linii de arc y = f (x) (a≤x≤b) în jurul axei Ox (presupunem că funcția y = f (x) are un derivat continuu). Reparăm x∈ valoare [a, b]. Să ne dea dx funcția argument creștere. care corespunde cu „inel elementar“ obținut arc elementar rotație δl. Acest „inel“ va înlocui inelul cilindric - suprafața laterală a corpului format prin rotirea unui dreptunghi cu o bază egală cu dl diferențială arc. și o înălțime de h = f (x). Tăierea doilea inel și implementarea acestuia, se obține o lățime de bandă dl și lungimea 2πy. unde y = f (x).
În consecință, suprafața diferențială exprimată prin formula
Această formulă exprimă suprafața obținută prin rotirea liniei arc y = f (x) (a≤x≤b) în jurul axei Ox.