Aplicații ale integrala definită

2.8. aplicații geometrice și fizice ale integrala definită

1. Calculul suprafeței unei figuri plane

1.1. Să presupunem că funcția este continuă și non-negativ în intervalul [a, b]. Apoi, aria figurii delimitat de axa x. segmente drepte x = a, x = b, iar funcția de program. Acesta poate fi calculată conform formulei (vezi. 10.1 Fig. 1).

1.2. Dacă intervalul [a, b], - functii continue, aria figurii delimitată de liniile x = a. x = b. graficele funcțiilor se calculează conform formulei (Fig. 10).

1.3. Dacă funcția pe intervalul [a, b] ia valori de semne diferite, suprafața formei închisă între curba și axa. este egal cu (Fig. 11).

Râul Isa. 10 p uc. 11

Zona EXEMPLU Exemplul 15. Se calculează figurii delimitate funcțiile și grafice.

Decizie. Vom calcula coordonatele punctelor de intersecție ale graficelor acestor funcții. Pentru a face acest lucru, vom rezolva sistemul

1.4. La calcularea ariei unui trapez curbiliniu, într-un caz în care limita superioară este dată de ecuațiile parametrice ale £ £ t în formula b este necesară pentru a face schimbarea de variabile, punând. atunci obținem. unde a și b - valoarea parametrului t. corespunzând valorilor x = a și x = b. t. e ..

EXEMPLU Exemplul 16. Găsiți figura PLO-Schad mărginit axa od arcadelor clorhidrici și cicloidă.

Notă. Cicloidale - curba plană, care descrie punctul M al cercului de rază. rulare fără alunecarea de-a lungul unei linii drepte (Fig. 13).

Decizie. Zona de căutare

Zona EXEMPLU Exemplul 17. Se calculează figurii delimitate de liniile, date de ecuații. y = 2.

Decizie. Dintre condițiile problemei, rezultă că și y> 0 pentru orice t. va rezolva
inegalitate

Dar, cu condiția. Pentru k = 0

Dacă x nu aparține intervalului. De fapt, trebuie să se calculeze aria cifrele cuprinse între linia y = 2 și o parte din cicloida situată deasupra acestei linii drepte (fig. 14).

2. Calculul suprafeței unui sector curbilinie. Lăsați curba AB chiulasa-on în coordonate polare prin ecuația. . și - o continuă și non-negativ asupra funcției intervalului. Figura delimitată de curba AB și două raze polare, constituenții polari din unghiurile axelor. Vom numi sectorul curbat.

Sectorul Zona curbat poate fi calculat prin formula

Zona EXEMPLU Exemplul 18. Se calculează figurii delimitate de curba (4-petale trandafir -. Figura 16).

Decizie. Prin varierea continuu, de la 0 la j. puteți construi prima petala. Compilează un tabel de valori ale funcției (Tabel. 3).

4. Calculul volumelor. volume Găsirea unor organisme pot fi reduse la calculul integralele definite.

4.1. Se calculează un volum al pătratelor cunoscute secțiuni paralele. Dacă cunoscută zona corpului luată de-a lungul unui plan perpendicular pe axa OX. t. e. cunoașterea x, putem calcula aria secțiunii transversale S = S (x). Apoi, volumul corpului sub care S (x) ipoteza - funcția integrabile.

4.2. Calcularea cantității de rotație a corpului:

a) în cazul în care corpul este format prin rotirea unei curbe trapezoid delimitată de curba y = f (x), axa OX și două drepte LOR x = a = b (a

b) și în cazul în care corpul este format prin rotirea figurii delimitate de curba. drepte y = c, y = d (c

c) în cazul în care corpul este format în jurul axei de rotație OY figura delimitată de linia y = f (x), drepte linii x = a, x = b și OX axei. volumul său poate fi calculat prin formula;