4.2. aplicații geometrice
Integrale definite.
Rezultatul este abilitatea de învățăturile produs la sârguincios. Dacă diligență este zero, și tot produsul este egal cu zero, și capacitatea de a avea toată lumea.
Conceptul integrala definită este utilizat pe scară largă în practică. În particular, folosind integralele definite pot fi calculate forme pătrate, lungimea curbelor, volumelor solidelor etc. În acest context, se pune întrebarea: în ce cazuri, puteți utiliza conceptul de definit integralei? Se pare că se poate utiliza definit integralei numai în cazurile în care valoarea calculată este aditiv. Aceasta înseamnă că valoarea studiată poate fi exprimată ca suma părților sale. Deci, zona din cifra este suma pătratelor părților sale, lungimea curbei este egală cu suma părților sale, etc. În consecință, pentru aceste valori pot fi formate sume integrale și luând limita pentru a trece la integralele definite.
4.2.1. Calcularea zonelor de figuri plane
Să presupunem că funcția este non-negativ și continuă pe intervalul. Apoi, în funcție de sensul geometric al suprafeței integral definit sub curba este egal cu numărul integral definit
Exemplul 4.2.1. Se calculează aria figurii delimitate de parabolei, linii drepte, iar axa x.
Decizie. Facem un desen. Necesar pentru a găsi zona unui trapez curbilinie (fig. 4.2.1). În conformitate cu sensul geometric al integrala definită:
Să presupunem că funcția este non-pozitivă și continuă pe intervalul (Fig. 4.2.2). Apoi, zona numărul curbei este egală cu integrala definită luată cu semnul „minus“:
Pe intervalul o funcție continuă a formei generale. Să presupunem, de asemenea, că segmentul inițial poate fi împărțit într-un număr finit de puncte la intervale de timp, astfel încât fiecare dintre ele va fi o funcție de semn constant. Să vedem ce există o relație între zonele clare și integrale emergente ale trapeze curbilinii.
Să considerăm, de exemplu, cazul funcțiilor prezentate în Fig. 4.2.3. Zona figura umbrită, și anume egală cu suma algebrică a integralelor definite corespunzătoare:
Exemplul 4.2.2. Se calculează aria figurii delimitate prin linii: a) ,; b) ,.
Decizie. a) Facem desenul (Fig. 4.2.4). La apoi
Rețineți că, dacă nu am luat în considerare semnele integrandul, ne-ar fi obținut
b) A face un desen (Fig. 4.2.5). Vom găsi punctul de intersecție al parabolei cu axa Ox:
Figura arată că
Exemplul 4.2.3. Se calculează aria figurii delimitată de: ,,,.
Decizie. Din desen (a se vedea figura 4.2.6 ..) Că zona dorită S trapez curbiliniu OABC să fie considerate ca fiind zona de deasupra OAB curbei în intervalul [0, 2]. Cu toate acestea, această curbă nu este definită printr-o singură ecuație. Prin urmare, pentru a găsi pătrat forma dorită OABC divide în două părți: OAD și DABC. suprafața fiecărui dintre care sunt calculate pe baza semnificația geometrică a definit integralei. Găsim abscisa de la punctul A:
Astfel, punctul A are coordonatele (1, 1). După aceea, o zonă predeterminată a figurii găsim:
Să figura avion în intervalul [a, b] este limitată la cele două funcții și grafice și (vezi. Fig. 4.2.7). Apoi, zona de căutare se calculează folosind formula:
Această ecuație rezultă din faptul că aria figurii este diferența sau suma suprafețelor de trapeze curbilinii corespunzătoare. Nu contează sunt grafice integrands deasupra sau dedesubtul axei Ox. Este important ca starea de pe întreg intervalul de integrare.
Exemplul 4.2.3. Se calculează aria figurii delimitate de: y = x-x 2. y = -x.
Decizie. Facem desenul (vezi. Fig. 4.2.8). Vom găsi punctul de intersecție al unei parabole și o linie dreaptă:
Deoarece intervalul [0, 2] x -x 2 ³-x. zona predeterminată a figurii este egală cu
Rețineți că trapez curbiliniu poate fi format ca un grafic funcție și axa Oy (vezi. Fig. 4.2.9). Apoi, aria unui trapez curbilinie poate fi scris ca
Un astfel de caz ar trebui să se aibă în vedere, deoarece poate reduce foarte mult calcul.
Exemplul 4.2.4. Se calculează aria figurii delimitată de parabole: (. Fig 4.2.10) y 2 și y = 2x 2 = 6-x.
Decizie. Vom căuta aria figurii în raport cu axa Oy. Ordonatele punctelor de intersecție ale liniilor y1 egal = -2 și y2 = 2. Prin urmare,
Încercați să calculeze zona osiOx relativă figura.