Ecuația diferențială a primei comenzi \ (y „= f \ left (\ dreapta) \) se numește ecuația cu variabile separabile. în cazul în care funcția \ (f \ stânga (\ dreapta) \) poate fi reprezentat ca un produs a două funcții care depind numai de \ (x \) și \ (y: \) \ [f \ stânga (\ dreapta) = p \ stânga ( x \ dreapta) h \ left (y \ dreapta) \] unde \ (p \ stânga (x \ dreapta) \) și \ (h \ stânga (y \ dreapta) \) - o funcție continuă.
Având în derivat \ (\) ca fiind raportul dintre diferențialele \ (\ mare \ frac >> \ normalsize, \) se va muta \ (dx \), în partea dreaptă și se împarte ecuația pentru \ (h \ stânga (y \ dreapta): \) \ [ \ frac >> = p \ left (x \ dreapta) h \ left (y \ dreapta), \; \; \ Rightarrow \ Frac >> = p \ stânga (x \ dreapta) dx. \] Desigur, trebuie să vă asigurați că \ (h \ stânga (y \ dreapta) \ ne 0. \) În cazul în care există un număr \ (\) la unde \ (h \ stânga (> \ dreapta) = 0, \), atunci acest număr va fi, de asemenea, o soluție pentru ecuația diferențială. Divizia de \ (h \ stânga (y \ dreapta) \) duce la pierderea soluțiilor menționate. Notând \ (q \ stânga (y \ dreapta) = \ mare \ frac> \ normalsize, \) scrie ecuația în forma: \ [q \ stânga (y \ dreapta) dy = p \ left (x \ dreapta) dx \. ] acum, variabilele sunt împărțite și putem integra ecuația diferențială: \ [\ int = \ int + C \] unde \ (C \) - constanta de integrare.Calcularea integralele, obținem expresia \ [Q \ stânga (y \ dreapta) = P \ stânga (x \ dreapta) + C \] descrie soluția generală a ecuației cu variabile separabile.
Găsiți toate soluțiile ecuației diferențiale \ (y „= -. \ X)
Transformare ecuație după cum urmează: \ [>> = - x,> \; \; >>> = - XDX,> \; \;> dy = - XDX> \.] Este evident că împărțirea în \ (\) nu conduce la soluții de pierdere, deoarece \ (> 0 \) După integrare obținem \ [> dy> = \ int \ dreapta) dx> + C,> \; \;> = - \ frac >> + C> \; \; \; \;> = \ Frac >> + C.> \] Acest răspuns poate fi exprimat explicit: \ [>> + C> \ dreapta)> \; \; \; \ ;. Y = - \ ln \ stânga (>> + C> \ dreapta)> \] Se presupune în ultima expresie care \ constant (C> 0, \) pentru a satisface domeniul funcției logaritmice.
Găsiți o soluție particulară a ecuației diferențiale \ (x \ stânga (\ dreapta) y „= \ ln x + 1 \) furnizat \ (y \ stânga (1 \ dreapta) = - 1. \)
Impartind ambele părți prin \ (x: \) \ [\ dreapta) \ frac >> = \ ln x + 1> \; \; \ Dreapta) dy = \ frac \ dreapta) dx >>.> \] Presupunem că \ (x \ ne 0, \) ca domeniu al ecuației inițiale este stabilit \ (x> 0. \)
Vom găsi acum valoarea \ (\) care satisface condiția inițială \ (y \ stânga (1 \ dreapta) = - 1: \) \ [\ dreapta) ^ 2> + 4 \ stânga ( <- 1> \ Dreapta) = \ dreapta) ^ 2> +> \; \; = - 3> \] Astfel, o soluție particulară a ecuației diferențiale pentru a specifica condiția inițială (problema Cauchy) este descrisă de ecuația algebrică: \ [2 + 4y = \ dreapta) ^ 2> - 3 \]
Rezolva ecuația \ (y \ left (\ dreapta) dx = x \ stânga (\ dreapta) dy. \)
Lucrare \ (xy \) în fiecare parte nu se permite să se separe variabilele. Prin urmare, vom face o schimbare: \ raportul pentru diferențial are forma [Xv = t \; \; \ textul \;; \ y = \ frac \.]: \ [Dy = \ frac >>> \.] Înlocuind aceasta în ecuația obținem: \ [\ frac \ left (\ dreapta) dx = x \ stânga (\ dreapta) \ frac >>> \.] Mai mult, multiplicând ambele părți \ (x, \) pot fi scrise după prescurtările respective: \ [t \ stânga (\ dreapta) dx = \ stânga (\ dreapta) \ stânga (\ dreapta). \] presupunem că \ (x = 0 \) este o soluție de (aceasta poate fi verificată prin substituție directă).