Acasă | Despre noi | feedback-ul
Continuu variabila aleatoare X are o lege de distribuție exponențială (exponențială). în cazul în care densitatea de probabilitate este dată de:
în cazul în care - stabilirea distribuției.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X F (x), distribuite în conformitate cu o lege exponențială, este dată de
Cele mai importante caracteristici numerice ale distribuției exponențiale sunt date de:
Pentru legea de distribuție exponențială a probabilității ca variabila aleatoare X ia valoarea aparținând intervalului (a, b), este definită prin formula
distribuţia normală
Distribuția normală (legea lui Gauss) joacă un rol crucial în teoria probabilității. Caracteristica principală a legii lui Gauss este că aceasta este legea supremă. care abordare, în anumite circumstanțe, alte legi de distribuție. Distribuția normală este cel mai adesea găsit în practică.
Continuu variabila aleatoare X are o distribuție normală (legea lui Gauss), cu parametrii și. în cazul în care densitatea de probabilitate este dată de:
Curba distribuției normale se numește curba normală sau curba Gauss.
Curba normală este prezentată în Fig. 9.
Faptul că variabila aleatoare X are o distribuție normală cu parametrii. pe scurt scris ca :.
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X, distribuite în funcție de distribuția normală este egală cu parametrul legii, adică. F .. și variația - parametrul. t. e ..
Legea normală de distribuție a variabilei aleatoare cu parametrii și. t. e. variabila aleatoare numit standard sau normalizat.
Densitate standard variabilă aleatoare X are forma
Se numește funcția Gauss.
Probabilitatea de a lovi intervalul (a, b) variabila aleatoare X, slave legea normală, definită prin formula
în cazul în care funcția este numită funcția Laplace (sau probabilitatea integrală). Această funcție este, de asemenea, numită funcția de eroare.
Funcția Laplace are următoarele proprietăți:
1. .. Ie funcția - impar;
Tabel de valori ale funcției Laplace pot fi găsite în Anexa 1.
Probabilitatea unei valori aleatoare care se încadrează în intervalul. simetric în raport cu centrul de împrăștiere. este dată de
În special ,. t. e., practic, sigur că o variabilă aleatoare ia valorile în intervalul. Această afirmație se numește „regula de trei sigma“.
Exemplul 1. 30% din produsele fabricate de afaceri are nevoie de reajustare. 200 de articole selectate în mod aleatoriu. Găsiți media și variația variabilei aleatoare X - numărul de produse din eșantion care are nevoie de ajustare.
Decizie. Aleatoare X variabilă are o distribuție binomială. Aici, n = 200, p = 0,3, q = 0,7. Folosind formula (10), găsim. .
Decizie. Într-un minut, centrala telefonică primește un apel de mediu. Presupunând că numere aleatoare X apelurile primite la centrala telefonică într-un minut, se supune legii lui Poisson, în conformitate cu formula (11) găsim probabilitatea necesară.
Exemplul 3. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este 0.01. Care este probabilitatea ca numarul de hit-uri pentru 200 de fotografii vor fi de cel puțin 5 și nu mai mult de 10?
Decizie. Să variabila aleatoare X - numărul de hit-uri țintă. Deoarece probabilitatea p = 0,01 foarte mici, iar numărul de fotografii (experimente) este suficient de mare, atunci probabilitatea dorită se va găsi, folosind formula lui Poisson (vezi. (11)). Conform teoremei plus. Având în vedere că. . Obținem.
Exemplul 4 trenuri de metrou circulă în mod regulat, la intervale de 2 minute. Pasagerul intră platforma la un moment aleatoriu. Care este probabilitatea ca un pasager va trebui să aștepte mai mult de o jumătate de minut? Găsiți media și deviația standard a unei variabile aleatoare X - timpul de așteptare a trenului.
Decizie. X variabilă aleatoare - timpul de așteptare al trenului - în intervalul de timp [0, 2] are o lege uniformă de distribuție (a se vedea (12).). Apoi, probabilitatea ca un pasager va trebui să aștepte mai mult de o jumătate de minut
În conformitate cu formulele (13), vom găsi min. .
Exemplul 5. O variabilă aleatoare T - timpul de tuburi de radio - are o distribuție exponențială. Se determină probabilitatea ca timpul de funcționare a lămpii este de cel puțin 600 de ore în cazul în care durata medie de 400 de ore de tuburi de radio.
Decizie. Conform speranța matematică problema a unei variabile aleatoare T este egal cu 400 de ore, de aceea. (Cm. (15)).
Apoi, folosind formula (14) probabilitatea necesară.
EXEMPLUL 6 părți Erori de măsurare aleatoare supuse unei distribuții normale cu parametri mm. Găsiți probabilitatea ca măsurarea pieselor fabricate cu o eroare care să nu depășească modulo 25 mm.
Decizie. formula Utilizarea (17). În cazul nostru. . Prin urmare,
Exemplul 7. Fie X - variabilă de distribuție normală subordonată aleatoare, cu media și abaterea standard. Care este probabilitatea ca cele patru teste ale acestei variabile aleatoare va scădea cel puțin o dată în intervalul (1,2)?
Decizie. Găsim probabilitatea unei variabile aleatoare X care se încadrează în intervalul (1,2) într-un singur proces. În conformitate cu formula (16) avem:
Apoi, probabilitatea ca o variabilă aleatoare nu se încadrează în intervalul (1.2) într-un studiu clinic este 1-0,3811 = 0.6189, iar la cele patru studii. Prin urmare, probabilitatea dorită.