Set - convexe dacă pentru oricare două puncte toate fac parte din punctul de reglaj al segmentului care leagă punctul în spațiu cu un punct. Rețineți că segmentul constând din puncte. poate fi parametrizate după cum urmează: Apoi, când va primi puncte. atunci când - punct. și când - punctele intermediare ale segmentului, astfel încât punctele de desemnare segmente sunt de acord cu toate simbolurile sale.
În figura de mai jos, două seturi pe planul prezentat. una convexă, iar celălalt nu este.
Bombarea în spațiul sunt, de exemplu, o multitudine de astfel: întregul spațiu. Octant sale Octant pozitive și non-negativ. orice minge, la fel de deschis. și închis. orice hiperplan (dată de o ecuație a formei. precum și deschis și închis pe jumătate ridicat, respectiv și termenii.
Teorema 1. Dacă toate seturile de o familie de convexe, convexe și intersecția lor
Dovada. Să punctele și aparțin; Apoi au ambele aparțin fiecăruia dintre seturile. Deci, în cazul în care - un punct arbitrar al segmentului, și conectarea. aparține. din moment ce convexe. Dar, ca și pentru toți. atunci. QED.
Această teoremă implică, de exemplu, că linia în spațiul n-dimensional (poate fi setat ca o ecuație vector Acolo unde -. Vectori fixe, și - stabilirea, precum și sub forma intersecției hiperplane) este un set convex. Într-adevăr, fiecare hiperplan - convexe.
Definiție: Funcția. definite pe un interval. numita convex (sau în jos convexă) pe acest interval, dacă pentru toți și inegalitatea
și concave (sau lateral convex în sus), în cazul în care inegalitatea
(Aceasta este, funcția concavă dacă și numai dacă funcția este convexă.)
Pe partea stângă a acestei inegalități ar trebui să funcționeze valoarea punctului derivat
și intervalul dintre (pentru simplitate presupunem că) și partea dreaptă a - valoarea funcției lineare. ca
În cazul în care. inegalitate, adică convexitate. Se transformă în acest lucru:
Dăm acum definiția unei funcții convexe de mai multe variabile.
Să Opredelenie1 - convexă, pe care o funcție. Funcția se numește convexă (sau convexă în jos) pe platoul de filmare. dacă pentru oricare două puncte ale funcției. servind ca funcții de constrângere pe segmentul care leagă punctele și. este convex (în jos), în funcție de o variabilă (aici, ca mai sus).
Funcția se numește concavă (sau partea convexă în sus) în. în cazul în care funcția concav.
Astfel, funcția concav dacă și numai dacă funcția este convexă.
Funcția convexitate înseamnă că, pentru orice segment cu capetele și parametrizarea acestui interval ca și seturile de compoziție. este o funcție convexă a parametrului. Având în vedere regiunea umflatura. orice puncte și se află în intervalul. și din nou, poate fi luată ca punctele finale. Prin urmare, pentru convexitatea funcției în necesar și suficient ca inegalitatea
Acesta este valabil pentru toți și.
În cazul în care, în acest caz, la toate, și strictă inegalitate
atunci spunem că funcția este strict convexă.
În cele din urmă, funcția se numește strict concavă. în cazul în care funcția este strict convexă; acest lucru înseamnă că inegalitatea strictă
Geometric (în cazul) convexitatea strict înseamnă că, pentru orice coardă a arcului grafic cu același capăt că coarda situată într-o secțiune verticală care trece prin coarda coardei poziționat sub orificiile de evacuare generate. concavitate strictă înseamnă că, în orice secțiune verticală a graficului trece peste orice segment care conectează două puncte ale graficului.
Rețineți că noțiunea de funcții convexe și concave (precum și un funcții strict convexe și concave strict), în zona definită numai pentru domenii convexe.
Dăm acum o definiție algebrică.
Definiție: Având în vedere o dimensiune matrice pătrată. Este numit semidefinite pozitiv. dacă (produsul scalar în punctul indicat) pentru orice vector coloană. O matrice se numește pozitiv definită. în cazul în care pentru toți.
Rețineți că expresia poate fi scris ca. în cazul în care - o coloană transpusa egal cu matrice rând. În general, indicele stânga sus vom folosi pentru a desemna matricea transpusa.
Definiție O matrice pătrată se numește simetrică. dacă toate următoarea ecuație. de exemplu, în cazul în care.
Într-o matrice simetrică sunt egale cu fiecare alte elemente sunt dispuse simetric una de alta cu privire la diagonala principală.
Teorema: Fie - simetrică matrice definită non-negativ de dimensiuni. Apoi, funcția pătratice (care este, de asemenea, numit o formă pătratică. Matrice dată)
Este o funcție convexă (în întregul spațiu, adică, atunci când).
Dacă o matrice simetrică - pozitiv definită, atunci având în vedere forma sa pătratică este strict convexă.
Dovada. Să presupunem că - două puncte și. în cazul în care. - punctul segmentului de legătură cu.
Să presupunem că matricea este nenegativ definită. transformări elementare permit scris ca