Ca detaliile fiecărei practici variabile aleatoare, de cele mai multe ori, sunt foarte modeste și anticipa cu încredere ceea ce este posibil valoarea pe care o va lua este dificil, poate părea că este imposibil să se stabilească modele de comportament și valoarea unui număr suficient de mare de variabile aleatoare. Se pare că acest lucru nu este așa.
Legea numerelor mari în sensul cel mai larg - este principiul general că efectul cumulat al unui număr mare de variabile aleatoare conduce, în anumite condiții, este relativ mare, rezultatul este aproape independent de caz, și anume, un număr mare de variabile aleatoare de rezultatul mediu încetează să mai fie aleatorii și poate fi prevăzut cu un grad ridicat de precizie.
1. turnuri (inegalitate Markov)
Dacă variabila aleatoare ia numai valori non-negative, pentru orice număr de inegalitatea :.
Pentru eveniment, eveniment opus, inegalitatea Markov poate fi scrisă ca:
Teorema 2. (inegalitatea Cebîșev lui)
Probabilitatea ca o deviație variabilă aleatoare de așteptare în valoare absolută mai mică decât orice număr nu mai puțin, adică .
Pentru eveniment, eveniment opus, inegalitatea Cebîșev poate fi scris ca :.
Teorema 3 (Teorema Cebîșev) În cazul în care - variabile aleatoare independente reciproc, în care dispersia uniformă restrânse (nu depășesc un număr constant), atunci, indiferent cât de mică era, inegalitatea de probabilitate:
este arbitrar aproape de unul, în cazul în care numărul de variabile aleatoare este suficient de mare.
Observația 1. Teorema Cebîșev susține că, dacă luăm în considerare un număr suficient de mare de variabile aleatoare cu variație uniform mărginit și sunt independente și pot fi considerate aproape sigur eveniment, care constă în faptul că abaterea mediei aritmetice a variabilelor aleatoare din media aritmetică a așteptărilor lor matematice vor fi în absolut cel mai mare arbitrar mici.
Teorema 4 (caz particular al teoremei Cebîșev)
În cazul în care - variabile aleatoare reciproc independente, având aceeași așteptări și varianța sunt delimitate în mod uniform (să nu depășească un număr fix), atunci, indiferent cât de mică era, probabilitatea de inegalitatea:
este arbitrar aproape de unul, în cazul în care numărul de variabile aleatoare este suficient de mare.
REZUMAT Teorema Cebîșev deși variabile aleatoare independente separate, pot lua valori care sunt departe de așteptările lor matematice, media aritmetică a unui număr suficient de mare de variabile aleatoare cu probabilitate mare presupune valori apropiate de un anumit număr constant, și anume numărul. Cu alte cuvinte, variabilele aleatoare individuale pot avea o variație semnificativă, și aritmetic lor înseamnă puțin distras.
Valoarea teoremei Cebîșev pentru practica:
Atunci când se măsoară o cantitate fizică produce mai multe măsurători și media lor este luată ca dimensiunea dorită. Teorema lui Cebîșev precizează condițiile în care pot fi aplicate metodei.
Pe teorema lui Cebîșev se bazează este utilizat pe scară largă în metoda de eșantionare statistică, esența, care este ca un eșantion relativ mic aleator este evaluată pe totalitatea obiectelor.
Să presupunem că condițiile de studii independente cu Bernoulli suficient de mare.
Teorema 5. (teorema lui Bernoulli), probabilitatea ca abaterea de frecvență relativă a probabilității valorii absolute este arbitrar mic dacă fiecare dintre probabilitatea test independent de constanta de eveniment este arbitrar aproape de unitate în cazul în care numărul de test este suficient de mare, și anume .
Esența teorema lui Bernoulli teorema lui Bernoulli ne permite să anticipăm ceea ce va fi cu privire la frecvența relativă de apariție a evenimentului.