Infinitul adânc potențial bine pătrat. Spectru, stare staționară, extinderea în funcțiile proprii ale Hamiltonianului, media
(Infinit adânci potențiale lățimi bine, vezi Fig.). Ne găsim valorile proprii și funcții proprii Hamiltonianul particulei.
Având în vedere că zonele de energie potențială tinde la infinit, avem nevoie ca funcția de undă ar dispărea (în caz contrar energia potențială medie a particulei ar fi egală cu infinit) pentru aceste valori ale coordonatelor. Mai mult, deoarece, conform postulatelor mecanicii cuantice, funcția de undă este continuă, punctele și funcția de undă este de asemenea zero. Prin urmare, pentru a găsi funcțiile de undă și energii ale statelor staționare de necesitatea de a rezolva ecuația
în domeniu cu condițiile la limită.
După cum sa demonstrat în capitolul anterior, toate valorile proprii trebuie să fie mai mare decât valoarea minimă a potențialului, astfel încât să rezolve ecuația (1).
soluții parțiale independente ale liniar ecuației (1) sunt funcțiile și unde. Deci, soluția generală a ecuației (1) are forma
Din condițiile limită pentru descoperirea. Din a doua condiție limită obținem, adică, fie sau
Prima condiție conduce la decizia de zero. soluții Astfel necontinue ale ecuației (1) care îndeplinesc condițiile limită există doar la valori la care condiția (3), din care găsim
Energie (5) sunt valorile proprii ale lui Hamilton și în conformitate cu principiile mecanicii cuantice sunt posibile valori de energie de particule observabile situate într-un potențial infinit de bine profund. Eigenfunction corespunzătoare eigenvalue este funcția
Așa cum ar trebui să fie, întotdeauna rămâne incertă. Acesta poate fi determinat de starea de normalizare. Este ușor de verificat că funcțiile
normalizat la unitate. Rețineți că aceste funcții nu au o paritate certă, în ciuda faptului că, din moment ce valorile coordonatelor care se află în afara gropii, toate funcțiile sale proprii sunt zero. Cu toate acestea, în cazul în care groapa a fost localizată simetric în raport cu originea, funcțiile de undă ale statelor staționare ar avea o paritate certă. Într-adevăr, în acest caz, pot fi obținute de funcții proprii din (7), prin trecerea într-un argument
Cunoașterea spectrului de valorile proprii și funcțiile proprii ale unei particule într-un potențial bine permite, conform postulatelor mecanicii cuantice pentru a răspunde la întrebări cu privire la valorile posibile ale energia particulei în diferitele state și probabilitățile lor. Luați în considerare câteva exemple.
Să presupunem, de exemplu, o particulă în groapă la momentul este funcția de undă
(În cazul în care - constantă). Ce putem spune despre rezultatele măsurării energiei particulei la momentul respectiv? Care este energia medie a particulei în funcție de timp?
În conformitate cu principiile de bază ale mecanicii cuantice pentru a răspunde la întrebări de acest tip trebuie să se extindă funcția de undă a unei particule în funcțiile proprii ale operatorului hamiltonian. Folosind cunoscuta formula trigonometric reprezintă funcția inițială de undă sub formă de particule
Ecuația (9) reprezintă expansiunea inițială a funcției de undă în funcțiile proprii ale operatorului Hamiltonian în care, prin urmare, cu ponderi egale au reprezentat doar a treia și a treisprezecea funcțiile proprii; coeficienții rămase dispar funcțiile proprii. Acest lucru înseamnă că măsurarea energiei la un moment dat, cu probabilități egale va da a treia și a treisprezecea
valori proprii. Prin urmare, este ușor de a găsi energia medie a particulelor de la acest punct
Deoarece hamiltonianul este independentă de timp, atunci probabilitatea de diverse valori ale energiei și energia medie sunt independente de timp, și, prin urmare, va fi la fel la un moment dat.
Este posibil să se rezolve problemele inverse - și anume prin măsurarea energiei pentru a restabili funcția de undă, și prin ea pentru a găsi probabilități de diferite valori posibile ale valorilor observate și medii. De exemplu.
Energia unei particule într-un potențial infinit și profund poate lua două valori
cu probabilități și respectiv. valoarea medie a coordonatelor particulei în această stare va depinde de timp?
Susținem. Deoarece particulele Hamiltoniene nu sunt dependente de timp, soluția generală temporară a ecuației Schrödinger este
în cazul în care - valorile proprii și funcțiile proprii ale operatorului Hamiltonian, - sunt constante arbitrare. Deoarece în stadiul actual de energie al particulei poate avea două valori și apoi în sumă (1) conține doi termeni care corespund la primul și al treilea eigenstates și coeficienții rămași sunt zero. Adică, funcția de undă a unei particule în orice moment în timp are forma
în cazul în care. (Rețineți că, în conformitate cu termenii funcției de undă este restaurat este ambiguă, deoarece nu au este determinat de factorii de fază și a coeficienților. Cu toate acestea, această ambiguitate nu strică să răspundă în mod clar problema problemei). Condiția (14) nu este fixă, astfel încât valorile medii ale cantităților fizice în această stare, în general, depind de timp. Puteți găsi valoarea medie a coordonatelor particulei în stare (14) cu formula cuantice pentru secundar
(In (15) utilizate funcții proprii realitate). Integralele primul și al doilea termen definește valoarea medie a coordonatelor primul și al treilea state staționare și, prin urmare, egale (acest lucru este verificat prin calcul direct, folosind integralelor functiilor proprii). Deoarece funcțiile de undă ale statelor stabile și chiar în ceea ce privește mijlocul gropii și ortogonale, integralele celui de al treilea și al patrulea termen este egal cu zero. Având în vedere că, de la (3)
Aceasta este, valoarea medie a coordonatelor în stare nestaționar nu depinde de timp. Cu toate acestea, în cazul în care extinderea de pornire funcția de undă a particulelor ar conține funcții proprii Hamiltonianului termenii corespunzătoare ambelor state pare și impare staționare, termenii încrucișate în ecuația (15) nu ar dispărea, iar particula medie de coordonate valoare ar depinde de timp.
Luați în considerare un alt exemplu. Lăsați funcția de undă a unei particule într-o gaură în timp este un
Care sunt valorile energiei pot fi obținute în măsurătorile?
Expand funcția de undă (17) în funcțiile proprii ale Hamiltonianului
în care - coeficienții de dilatare, care conform principalelor principii ale mecanicii cuantice și care determină probabilitatea de energii diferite. Deoarece funcționarea corectă - ortonormalitate, coeficienții pot fi găsite prin înmulțirea ecuației (18), în funcția proprie și integrarea
Deoarece funcția de undă a particulei - chiar și în raport cu centrul găurii (acest parabole, dispare la frontierele gropi) - funcții pentru numere impare sunt chiar și ciudat chiar, integrala (19) este nenul numai pentru numere impare. Prin urmare, atunci când măsurarea energiei în această stare poate fi detectată prima (corespunzătoare stării solului), a treia, a cincea, a șaptea, etc. valori proprii. A doua, a patra, a șasea, etc. valorile proprii ale măsurătorilor în această stare este imposibil.