Prin tipuri simple de integrabile doua ecuații diferențiale de ordinul sunt ecuații pentru care funcția pe partea dreaptă a formulei (12,32), sau depinde numai de x. sau numai pe y. sau numai pe y '
și anume ecuații de forma:
Soluția generală a ecuației (12,37) este integrarea dublă.
Ecuația (12,38) este integrat de așteptare
ceea ce face posibil să se reducă la o ecuație cu variabile separabile y și p:
Din ultima ecuație este determinată de p. și din ecuația y „= p - o comună integral F (x, y, C1, C2) = 0.
Ecuația (12,39) substituind (12,40) se reduce la o ecuatie cu variabile separabile x și p:
În unele cazuri, de ordinul a doua ecuațiile diferențiale pot fi reduse la ecuațiile de ordinul întâi.
substitutiv (12,40) se reduce la ecuația
necunoscute funcție p.
aceeași substituție reduce cu ecuația
în cazul în care rolul variabil necunoscut în.
1. Integrarea ecuației y '' = cos x.
De atunci. = Dy“cos XDX,
Integrarea încă o dată, obținem:
2. Găsiți soluția generală a ecuației y „“ = 2y“.
Partea dreaptă a acestei ecuații depinde numai de y“. Această ecuație de forma (12,39).
Punerea y „= p. am găsit:
3. Integrați ecuația
Această ecuație de forma (12,41), deoarece în mod clar nu include functia y necesară.
Fie Y „= p. atunci
și ecuația ia forma sau (1 + x 2) dp-2XP dx = 0.
Separarea variabilelor, obținem
De atunci și, prin urmare, soluția generală este dată de formula
Notă. Separarea variabilelor, am presupus că p ≠ 0,
Prin urmare, 1 + x 2 ≠ 0. soluții ar putea pierde p = 0. 1 + x 2 = 0.
Prima egalitate implică faptul că y „= 0 și y = C. Funcția y = C o soluție a ecuației inițiale, care poate fi determinată în mod direct.
Aceste soluții se obțin din soluția generală când C 1 = 0. A doua egalitate este imposibil reală x. aceasta nu definește o funcție care este o soluție a acestei ecuații.
4. Integrarea yy ecuația '' - y „2 = 0.
Această ecuație de forma (12), deoarece nu conține în mod explicit argumentul x.
Fie Y „= p. atunci
Substituind expresiile pentru y „și y“ „la ecuația inițială, obținem
ecuație de ordinul întâi cu variabile separabile y și p:
Separarea variabilelor, obținem
Deoarece p = y“. atunci. Integrarea acestei ecuații, obținem
Notă. Soluții y = 0, y = C (y „= 0) sunt obținute din soluția generală, respectiv, cu C2 = 0 și C1 = 0.
Integra a doua ecuație diferențială: