Ne găsim puncte de intersecție a abscisei cu parabole și Direct va împărți această cifră în două părți - OASO și SUV-uri. Zona S din cifra este egală cu suma suprafețelor acestor părți:
2. Zona trapezului curbată delimitată de curba dată în formă parametrică
Aria trapezului curbiliniu se calculează după cum urmează:
De asemenea, funcțiile trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
1) este continuă și non-negativ
2) are un derivat continuu asupra
3) la același semn sau când și dacă
Scriem ecuațiile parametrice ale elipsei:
Având în vedere proprietățile de simetrie ale figurilor și formula (4) obținem
Rețineți că limitele de integrare au fost găsite de formulele (4 „):
3. Zona sectorului curbat
Zona curbat sector OM1M2. un arc limitat al curbei și două OM1 raze polare și OM2. valorile corespunzătoare # 120 593; 1 și # 120593; 2 unghiul polar se calculează cu formula:
Exemplul 6. Găsiți zona cardioide
Decizie. Curba cardioid este descrisă printr-un punct arbitrar al diametrului cercului de cerc a. rulare și de alunecare fără frecare pe un cerc fix de același diametru. Din motive de simetrie și formula (5), obținem:
3.2 Calcularea lungimii arcului curbei plane
Să curba arc AB plan definit de ecuația y = f (x), unde f (x) - o funcție în mod continuu diferențiabilă. Apoi, lungimea arcului AB este determinată prin formula
Se calculează lungimea arcului curbei, capetele căruia abscisa x = 1, x = 4.
Deoarece, în conformitate cu formula (6) avem:
.
În cazul în care curba este dată de ecuațiile parametrice x = (t), y = ψ (t), unde (t), ψ (t) - funcția continuu diferențiabilă lungimii arcului calculat prin formula:
(7), și în care - valoarea corespunzătoare capetele arcului A și B. adică
Se calculează lungimea arcului unuia arcuri cicloidale, x = 3 (tsin t).
pentru că toate arc cicloidei sunt egale, considerăm primul dintre arc său, de-a lungul căreia parametrul t variază de la 0 la 2π.
În conformitate cu formula (7), avem
Dacă curba este definită în coordonate polare prin ecuația, lungimea arcului M1M2 calculată cu formula
ceea ce corespunde la capetele arcului M1 și M2.
Calculați lungimea cardioide.
pentru că cardioidă simetrică față de axa polară, vom găsi o jumătate de lungime a liniei, schimbarea unghiului polar de la 0 la π, iar apoi dublu rezultatul. Conform formulei (8), obținem
3.3 Calcularea volumelor organismelor
1. Domeniul de aplicare a corpului cu o secțiune transversală predeterminată
Presupunem că funcția S (x) este continuă în volum timp V al corpului se calculează cu formula:
unde - suprafața secțiunii transversale corespunzătoare abscisa unui punct x axa Ox. și - abscisa punctelor acestei axe prin care planul corpului restricționat în direcția axei Ox.
Acest organism este un elipsoid triaxial cu semiaxes
se află între planuri care se intersectează, valorile respective ale lui x = 2 și x = 2. Secțiunea transversală a planului elipsoid perpendicular pe axa Ox. este o elipsă, ecuația este de forma:
Jumătate-axă a elipsei va fi
Printr-o zonă cunoscută elipsă formula
Găsim aria secțiunii transversale
Conform formulei (9) este egal cu volumul dorit
2. Volumul corpului de rotație
a) Volum în coordonate rectangulare