calculul diferential facilitează foarte mult sarcina de nedeterminare în calculul limitelor. specii de primire simple nedeterminare și oferă regula L'spitalului. esența, care este următoarea teoremă.
Teorema. Limita raportului dintre două funcții infinit mici sau infinit mari când x → x0 este limita raportului dintre derivații acestora, dacă există din urmă, adică (K poate fi finit sau infinit).
Un alt tip de incertitudine de 0/0 poate fi deschis printr-o metodă diferită.
regula L'Hospital poate fi utilizat în mod repetat, în cazul în care raportul dintre derivații dă din nou sau incertitudine.
Exemplul №3. Find.
Decizie.
.
Notă 1. Aplicarea în mod repetat regula L'Hospital, este necesar de fiecare dată pentru a verifica, dacă incertitudinea deja dezvăluit, în caz contrar s-ar putea obține un rezultat incorect.
Observația 2. cerința Teorema că există o semnificativă, pentru că în cazul în care nu există, aceasta nu înseamnă că același lucru nu există. De exemplu - nu există, cu toate acestea.
Incertitudinile în formă și 0 · ∞ ∞-∞ utilizând transformări identice incertitudini sunt reduse la 0/0 sau ∞ / ∞ și apoi sa extins prin regula L'Hopital lui.
0 · ∞ incertitudine apare atunci când doriți să găsiți un subiect. Ca rezultat al transformării (sau) se obține incertitudinea de 0/0 (fie ∞ / ∞).
Dacă doriți să găsiți, și în cazul în care, apoi, reprezentând diferența f (x) - g (x) =, obținem incertitudinea de 0/0. Incertitudinile forma 0 0. 1 ∞. ∞ 0 prin expresia logaritmul [f (x)] g (x) sunt reduse la incertitudinea 0 · ∞, discutat mai sus.
EXEMPLUL №4. Find.
Decizie. Aici avem incertitudinea de la 0 · ∞. Rescriem această expresie în formă.
Acum puteți aplica regula L'Hospital lui:
.
EXEMPLUL №6. Find.
Decizie. Această expresie este o formă nedeterminată ∞-∞. Conversia-l la o specie diferită:
EXEMPLUL №8. Find.
Decizie. Aici nedeterminate formă 0 0. Fie y = x x și logaritmilor: LNY = x · LNX, în cazul în care, din cauza continuității funcției logaritmice (exemplul 4). Deci, în cazul în care, de exemplu, .
EXEMPLUL №9. Find.
Decizie. Avem incertitudine 1 ∞. care poate fi deschis cu ajutorul celui de al doilea limita remarcabil, dar ilustrează o altă recepție. Notăm, atunci
.
Obținem, apoi prin definiție logaritmului.
EXEMPLUL №10. Găsiți limita, folosind regula de L'Hospital-Bernoulli.
Decizie.
Funcția f (x) = ln (x) este diferențiabilă la toate definițiile câmpului funcție # 966; (x) = x 3 x diferențiabilă pentru oricare dintre R, atunci când x → ∞; 3 x → ∞. Avem incertitudine. Se aplică L'Spitalul de regula-Bernoulli:
.
EXEMPLUL №11. Găsiți limita, folosind regula de L'Hospital-Bernoulli:
.
Decizie. funcţia logaritm
,
obținem:
.
ln funcție (x) și ln (e x -1) derivabila pe (0, + ∞). Se aplică L'Spitalul de regula-Bernoulli pentru incertitudine:
.
Se calculează limita de aplicare regula L'spitalului.
Decizie. regula L'Spitalul permite să dezvăluie incertitudinea 0/0 și ∞ / ∞.
De exemplu nostru:
regula L'Hospital este aplicabil, care spune că limita raportului este egală cu funcțiile limită ale raportului dintre derivații lor.
De exemplu nostru:
f (x) = π-2arctg (x)
g (x) = 1 / x
Găsim primul derivat
g „(x) = -1 / x 2
f „(x) = 2x
g „(x) = 2x
Răspuns: 2