Conceptul unui triunghi sferic
triunghi sferic - o formă geometrică de pe suprafața sferei format de intersecția celor trei cercuri mari. Trei cercuri mari pe suprafața sferei care nu se intersectează la un moment dat, formează opt triunghiuri sferice. triunghi sferic, toate părțile din care mai puțin de jumătate dintr-un cerc mare, numit Euler.
Proprietățile triunghiului sferic
1. În plus față de cele trei semne ale egalității de triunghiuri plane, triunghiuri sferice mai fidel una, două triunghiuri sferice sunt congruente dacă unghiurile lor corespunzătoare sunt egale.
2. laturile triunghiului sferice 3 sunt realizate inegalitatea triunghiului: fiecare parte este mai mică decât suma celorlalte două părți și mai mult din diferența lor.
3. Suma tuturor părților a + b + c este întotdeauna mai mică decât 2πR.
4. Cantitatea 2πR - (a + b + c) se numește defect sferic
5. colțuri triunghi sferic cantitate s = α + β + γ este întotdeauna mai mică decât 3π π și mai mult
6. Valoarea se numește un exces aplatizării sferic sau sferic
7. Aria triunghiului sferic definită prin formula. Spre deosebire de triunghi plat în triunghi sferic pot fi două sau chiar trei unghiuri de 90 ° fiecare.
Utilizarea unui triunghi sferic în Astronomie
În astronomie, sferică teorema cosinus ne permite să treacă de la un sistem de coordonate pe sfera cerească la alta. Trei astfel de sisteme sunt cele mai frecvent utilizate: unul la ecuator este ecuatorul ceresc și poli - polii lumii, în jurul căreia există rotația zilnică aparentă a stelelor; celălalt este ecliptica ecuator - un cerc, în care pe tot parcursul anului se face mișcare aparentă a soarelui împotriva stelelor; un al treilea rol al ecuator îndeplinește orizont, și rolul poli - zenit și nadir. În special, datorită regulii cosinus sferice se poate calcula înălțimea soarelui deasupra orizontului la momente diferite și pe diferite zile ale anului.
Cosinus teorema pentru partidele:
Teorema cosinus pentru unghiuri:
Utilizarea unui triunghi sferic în geografie
Sferice teorema cosinus permite coordonatele ale celor două orașe A și B pentru a găsi distanța dintre ele. În plus, matematicieni țările islamice sferice teorema cosinus ajută la rezolvarea o altă problemă practică: orașul cu coordonatele date pentru a găsi direcția de orașul sfânt Mecca (în fiecare musulman devotat ar trebui să se roage de cinci ori pe zi spre Mecca). Pentru a rezolva această problemă, în afară de orașul Mecca B, este necesar pentru a găsi unghiul A al triunghiului.
Să considerăm un triunghi sferic ABN, în care N - polul nord (presupunem pentru simplitate că cele două puncte sunt situate în emisfera nordică).
Fig. Găsirea distanța între două puncte pe o sferă
Apoi, dacă latitudinea și longitudinea punctului A sunt egale cu φA și λA și punctul B - φB și Qb, valorile unghiulare laturi ale triunghiului sunt:
AN = π / 2 - φ A, BN = π / 2 - φ B,
unghiul la vârf este egal cu N (λA - Qb),
și, prin teorema cosinusului sferice,
cos AB = cos (π / 2 - φA) cos (π / 2 - φB) + sin (π / 2 - φA) sin (π / 2 - φB) cos (λA - Qb) = sin φA păcat φB + cos φA cos φB cos (λA - Qb).
Utilizarea unui triunghi sferic în arhitectură
Sails în arhitectură - triunghi sferic, oferind o tranziție de la un pătrat în planul spațiului cupola domului la circumferința. Sail, pandativ (de la părintele pendentif.) - o parte din bolta elementului dom prin trecerea de la baza dreptunghiulară la tavan cupolă sau tamburul acestuia. Sail are forma unui triunghi sferic, apexul înclinat în jos și umple spațiul dintre arcade podpruzhnymi care leagă stâlpii pătratului adiacente dom. Baze vele triunghiuri sferice în mărime, pentru a forma un cerc, și să distribuie sarcina arcelor cupola circumferință.
Fig. Dome pe vele
Fig. pictura vele
Folosirea unui design triunghi sferic
„Proiectantul se pot relaxa oarecum și să se distreze ,. Rezultatul poate fi o glumă, distractiv este uimitor cât de des acest lucru se întâmplă foarte mult distractiv,“ Dzhordzh Nelson
Dzhordzh Nelson - proiectant american, arhitect, critic de design și teoretician. (1908, Hartford, Connecticut - 1986, New York)
Cele mai cunoscute proiecte de design George Nelson reprezinta stilizare magistral de forme geometrice, în spiritul op artă și abstracție geometrică.
Forma său celebru designer de scaun negru se bazează pe un triunghi sferic, este utilizat pe scară largă în planurile arhitecturale ale structurilor de tip dom.
Scaun Dzhordzh Nelson negru
Utilizarea unui triunghi sferic în gravura
Capătul 24 pe 24 cm de imprimare.
Patru sfere concentrice goale iluminate de o sursă de lumină centrală. Fiecare sferă este compusă din plasă formate prin intersectarea nouă inele mari; Ei sunt membri ai suprafața sferică 48 din aceste triunghiuri sferice.
Escher gravură M. C. Escher
coordonatele geografice cunoscute - latitudine și longitudine punctele A și B și suprafața pământului. b. bine. b este necesară pentru a găsi cea mai scurtă distanță între punctele A și B de-a lungul suprafeței. (Pământ raza presupusă a fi cunoscută. R = 6371 km).
Suprafața Latitude element M pământ este cantitatea m unghiul format de raza OM, unde centrul G al Pământului, cu planul ecuatorial: -90 ° m 90 £ . și la nord de latitudinea ecuator este pozitiv, iar la sud - negativ. Longitudine m element M este unghiul diedru dintre COM și grupările COH, unde C - un pol nord și N - punct. corespunzătoare Observatorul Greenwich: -180 m 180 (la est de Greenwich longitudinii meridiane este pozitiv, vest - negativ).
Cea mai mică distanță UI tren la punctele A și B din suprafața pământului - este lungimea arcurilor de la cercul mai mare, se numește marele cerc care unește A la B. Prin urmare, sarcina noastră este redusă la determinarea din partea A a lungimii B sfericheskog triunghiului ABC. Sferic distanța n de la A la B Elementele găsite de formula: AB S = R AOB
Pentru a găsi AOB trebuie să știe AOC. SOA, C. Să IDS = . atunci:
a = 90 ° - BOK. tk COK = 90 °, adică
= 90 ° - in. Să C O A = . apoi,
C exprimat în termeni de coordonate t ochke A și B. Prin definiție C 180 °
Apoi, vom găsi AOB Să AOB = . atunci:
Cos = cos cos + sin sincosC - de cosinus
știind cosinus , descoperim ABC;
Navigator Kristofor Vespuchchi navigat 1800 de mile într-o direcție de la punctul A la punctul B, transformat de 60 de grade și plutea într-o nouă direcție chiar și 2700 mile, se întoarse la punctul C. Este necesar de a găsi distanța dintre punctele A uC (pe suprafața pământului).
Notăm o. b bani și soare lungimi de CA și AB, respectiv, - un unghi la vârf interior într-un triunghi sferic ABC. atunci
unde R - raza Pământului, exprimată în mile marine.
Conform regulii cosinus pentru triunghiuri sferice
Pe mese sau cu ajutorul unui calculator, constatăm că
În consecință, lungimea arcului AC = b este b = R * 0.90662 = 3437.4 * 0.90662 3116.7 mile.
Răspuns: 3117 mile marine 5,772 km.