Teorema. Să - numere întregi, GCD. Numărul poate fi scris ca
Dovada. Să - setul de numere care pot fi obținute de la și prin adunare și scădere. Apoi, în cazul în care atunci. Deoarece algoritmul lui Euclid
A \ Longrightarrow \ dots \ Longrightarrow r_n \ în A. "title =" r_1 \ în A \ Longrightarrow r_2 \ în A \ Longrightarrow r_3 \ în
A \ Longrightarrow \ puncte \ Longrightarrow r_n \ în A. "style =" vertical-align: -4px; frontieră: none; „/>
1. GCD a două numere împărțit la comun divizorul fiecăruia dintre aceste numere.
2. Ecuația în care - coeficienți întregi, - necunoscutele întregi, rezolvabile dacă și numai dacă este divizibil cu GCD.
Numerele simple și compuse
Definiția. Un număr întreg este numit un compozit. dacă este divizibil cu un număr întreg și altul decât 1 și -1.
Un număr întreg este numit simplu. în cazul în care nu este o parte integrantă și nu este egal.
Teorema. Orice număr întreg compozit poate fi reprezentat ca un produs al amorse.
Dovada. Să presupunem că sunt numere întregi compuse care nu pot fi reprezentate ca un produs de numere prime. Am ales unul dintre aceste numere este cel mai mic și lăsați-l prin. Deoarece - un număr compozit, atunci acesta are un separator care este mai mare de 1 și mai puțin.
m \ vdots a, \ quad 1
m \ vdots a, \ quad 1
numere naturale. Fiecare dintre numerele este fie simplu sau compus este mai mică decât cea atât de descompus în factori de prim. Dar apoi descompus în factori de prim. O contradicție.
Teorema. Dacă - numere întregi - un număr prim, fie.
Dovada. Să nu și nici nu este divizibil cu. atunci
GCD, GCD. Prin urmare, este posibil să se aleagă numere întregi, și și sunt numere întregi și,
Înmulțind aceste ecuații termen de termen:
Fiecare termen din partea stângă este împărțită în la fel de bine. O contradicție.
Teorema. Să - și întreg compozit
în cazul în care - numere naturale prime. lăsa
Dovada.
Dacă în partea stângă și dreaptă este factori egal, pentru a le reduce și obține ecuația aceeași formă în care oricare factor de pe partea stângă nu este egal cu oricare dintre factorii de pe partea dreaptă (dacă nu toți factorii care vor fi reduse).
Partea dreaptă a ecuației este împărțit în. Deoarece - un număr prim, atunci cel puțin un factor în partea dreaptă împărțită în (teorema anterioară). În același timp, toți factorii de pe partea dreaptă - este doar un număr, nu este egal. În consecință, acestea nu se încadrează în. Contradicția.
b = q_1 ^ q_2 ^ \ ldots p_t ^ "title =" a = p_1 ^ p_2 ^ \ ldots p_s ^, \
b = q_1 ^ q_2 ^ \ ldots p_t ^ "style =" vertical-align: -6px; frontieră: none; „/>
- descompunerea canonică a numerelor și.
În descompunerea canonică a GCD îi includ pe aceia și numai acele numere prime care sunt furnizate atât de expansiune, cei doi indicatori selectați mai mici.
Un număr prim este inclus în descompunerea canonică a scorului
p ^ 3> \ right] + \ stânga [\ dreapta] + \ ldots "title =" \ displaystyle \ stânga [\ dreapta] + \ stânga [\ dreapta] + \ stânga [p ^ 3> \ right] + \ stânga [\ dreapta] + \ ldots, "style =" vertical-align: -17px; frontieră: none; „/>
în cazul în care suma este atât timp cât o parte integrantă devine zero.
1. Să se arate că este divizibil cu 30 pentru orice întreg.
2. Să se arate că pentru orice întreg.
3. Arătați că suma cuburi de trei numere consecutive multiple 9.
4. Demonstrați că pentru orice număr întreg non-negativ
5. Demonstrati ca pentru orice întreg nenegativ
6. Demonstrați că pentru orice numere naturale prime.
7. Demonstrati ca pentru orice naturale
8. Demonstrati ca pentru orice ciudat naturale
9. Ce fel de reziduuri pot da atunci când împărțit la 9 cuburi de numere întregi?
10. Demonstrati ca pentru orice întreg
11. Demonstrati ca pentru orice naturale
12. Demonstrati ca pentru orice întreg nu este divizibil cu 169.
13. Demonstrați că, dacă numerele întregi și sunt împărțite în 3.
14. Demonstrați că pentru orice întreg
Ei nu au nici un divizor comun, altele decât 1.
15. Numerele din două cifre care se termină în aceeași figură, astfel încât atunci când împărțit la 9 câtul egale între ele reziduu. Găsiți toate numerele care satisfac aceste condiții.
16. Să se arate că, în oricare dintre secvențele
Acesta conține infinit mai multe numere de compozit.
17. Aranjați numerele de pe cei doi factori naturali, fiecare dintre acestea nu este mai mică de 1.000.
18. Dovedește că numărul de compozit.
19 *. numere întregi pozitive astfel încât. Dovedește că numărul de
20. Demonstrați că numerele (unu și zero) compozit.
21. Dovedește că numărul de
(figurile unde notate pe acoladă) compozit.
22. Prezent în forma canonică, găsiți GCD
a) 4828896 și 27147960;
b) 22754277 și 7484400.
23. Demonstrati ca pentru orice naturale
24. Demonstrati ca pentru orice naturale
25. Arătați că puterea impar de 48, a crescut cu 1, este un multiplu de 7.
26. Găsiți toate simplu, pentru care și sunt, de asemenea, simplu.
27. Numerele naturale, astfel încât,
28. Pe ce cea mai mare putere de 3 este împărțit în produsul tuturor numerelor chiar și din patru cifre?