Din teorema lui Abel rezultă că în cazul în care o serie de puteri converge la o anumită valoare x0. atunci seria converge absolut în intervalul de la modificările -x0 la X0. (-x0; x0).
În cazul în care pentru unele divergenta valoare, aceasta divergenta pentru toate x satisfac inegalitățile, sau - intervalele de divergență.
Definiție: Intervalul (-R + R), în interiorul căruia o serie de puteri converge se numește convergența intervalelor. Jumătate din intervalul de convergență al unui număr numit raza de convergență.
(-R + R) - intervalul de convergență;
raza R de convergență.
Pe capetele seriei intervalul pot converge și divergente.
1. Dacă seria (1) converge la punctul x = 0, R = 0
2. Dacă seria (1) converge pentru toate x, atunci
3. Dacă seria (1) converge (-R + R), atunci x = R și x = + seria de putere R este studiat separat.
Vom descrie o metodă de determinare a razei de convergență a seriei de puteri. (1)
Luați în considerare format din valorile absolute ale membrilor săi:
Pentru a determina convergența seriilor (4) se aplică testul d'Alembert lui. Să presupunem că există o limită:
Pe baza seriei d'Alembert (4) converge,
dacă <1, т.е. и расходится если
Rezultă din cele de mai sus rezultă că intervalul de convergență este notat, apoi (conform d'Alembert).
În mod similar, se poate determina intervalul de convergență pe baza Cauchy.
Luați în considerare exemple: Determinarea intervalelor de convergență a seriei de putere
seria converge peste tot.