2) Demonstrăm acum includerea inversă:
- stabilit astfel încât în cazul în care, atunci.
Trebuie să arătăm că, de exemplu, a verifica acest lucru.
Dacă vom găsi setul pe, puteți continua la toate de teorema Hahn-Banach.
Luați în considerare un arbitrar, totuși.
Apoi, adică, și că este, valoarea funcțională nu depinde de ceea ce în mod specific a fost selectat (at).
Apoi, putem lua, în cazul în care - funcțională liniară. Rămâne să verifice limitările.
- bijectie, - închis, - Banach, așa -, de asemenea, ca un subspațiu al Banach. Introducem norma pentru ambele.
Arătăm că - au fost limitate. Pentru a face acest lucru, vom trece de la clasele de echivalență pentru membrii lor. Deoarece există astfel încât (prin definiție a infimumul), luați în calitate de reprezentant (putem face acest lucru, deoarece valoarea de unul și același pentru toate). Apoi, pentru că el a fost limitat, de asemenea, ar fi limitat.
Apoi, prin teorema lui Banach, există o homeomorphism a unui operator liniar mărginit. Notă: Inegalitatea stricte, trebuie să ne asigurăm existența unei astfel încât.
, de exemplu, pentru a obține o teorema limită este demonstrată.
Aceste două teoreme sunt cea mai comuna forma a ecuațiilor operatorului înregistrări de condiție de solvabilitate.
Semnificație: considerăm ecuația în care - având în vedere. Pentru a înțelege dacă ecuația este rezolvabilă, este necesar să se verifice dacă. În general, nu există nici o modalitate de a face acest lucru, dar putem restricționa de testare, iar apoi operatorul Adjoint poate fi construit, miezul se pretează la o descriere constructivă :.
De exemplu ,,. , - având în vedere. Este necesar să se uite, asta este.
În următoarele secțiuni, vom introduce o clasă de operatori infinit-dimensionale, pentru care - este închis, în special, această clasă include operatori integrali.