Curs 6 operatori adjuncti. Exemple de operatori conjugate
6.1. operatorii adjuncti
6.2. Exemple de operatori conjugate
Fie X și Y - operator liniar limitat - spațiu Banach, A. X ® Y. Ia f funcțional Î Y „și se va construi un nou g funcțional (x) = f (Ax). Vom verifica dacă g - mărginită funcțională liniară pe ecuații X.
Rezultă din liniaritatea f și operatorul A. Inegalitatea
obținem că g - mărginit liniar funcțional, și că
Astfel, un afișaj
Operatorul 6.1.Sopryazhennym Determinarea a liniar operatorului mărginit A. X ® Y este operatorul A“. prin formula A'f (x) = f (Ax) din Y spațiu 'în spațiul X'.
Observația 6.1. În ceea ce privește A'f (x) din două opțiuni posibile pentru consolele de localizare (A'f) (x) și A „(f (x)) are al doilea sens (f (x) - și numărul de operator A“ nu se poate aplica la numărul de ), astfel încât expresia A'f (x) este citit în primul exemplu de realizare (un „operator este aplicat se calculează valoarea funcțională f și noua funcționalitate la punctul x).
Noi arată că conjugarea nu transmite la ieșire clasa limitată a operatorilor liniari.
Teorema 6.1. Un „operator. conjugat cu un liniar mărginit operatorul A. este liniar mărginit, în care || A „|| = || A ||.
Dovada. Noi verifica liniaritatea operatorului A „:
Conform inegalitatea (1), obținem
t. e. operatorul A „este limitată și || A „|| £ || A ||. Noi arată că inegalitatea inversă || A || £ || A „||. Ia un element x arbitrar Î X si lasa y = Ax. Conform anchetei 4.2 Hahn - Banach, există un f funcțional Î Y“. că || f || = 1 și f (y) = || y ||. Apoi, f (Ax) = || ax || și
Astfel, pentru orice x Î X || mulțumit ax || £ || A „|| || x ||, de unde obținem || A || £ || A „|| și, prin urmare, || A „|| = || A ||. Acest lucru dovedește teorema.
Construit pentru fiecare operator A Adjoint sale A“. am identificat cartografiere de la L (X. Y) în L (Y“. X '), pe care operatorul A pune potrivirea conjugatul său în A'. Această cartografiere se numește maparea conjugat. Notă următoarele proprietăți de împerechere: 1) (A + B) '= A' + B“. 2) (lA) '= lA' (liniaritate); 3) || A „|| = || A || (Izometric).
6) În cazul în care operatorul A are un invers A mărginit - 1. că A 'este de asemenea inversabilă și (A') - 1 = (A - 1)“.
Dovada. Deoarece AA - 1 = I și A - 1 A = I. apoi, în funcție de proprietățile 4) și 5), avem (A - 1) 'A' = I și A '(A - 1)' = I. t .. f operatorul (a - 1) 'este inversul unui'. Proprietatea este demonstrată.
Iată câteva probleme, din care soluția apar în mod natural operatorii adjuncti.
Să A. X ® Y - operatorul limitat liniar (X. Y - spațiu Banach). Sarcina este de a determina dacă ecuația Ax = soluția y x Î X pentru un anumit y Î Y. Cu alte cuvinte, este necesar pentru a descrie imaginea Im A =
Teorema 6.2. Fie X și Y - și Banach spațiu A. X ® Y - operator liniar limitat, Im A - imaginea sa. O închidere a imaginii operatorului este setul de vectori y. care satisface condiția f (y) = 0 pentru orice f funcțional Î Y „astfel încât A'f = 0.
Dovada. Să - set de vectori care satisfac condiția teoremei. Deoarece intersecția închis subspatiu L liniar este un subspațiu închis.
Demonstrăm acum includerea în direcția opusă. Să presupunem contrariul, adică. E. că există un element de y0 Î L astfel încât. Apoi, în conformitate cu corolarul 4.3, Hahn - teorema lui Banach, există o F0 funcțională. că f0 (y0) ¹ 0 și f0 (y) = 0 pentru toate. Apoi A'f0 (x) = f0 (Ax) = 0 și starea y0 Î L înseamnă că f0 (y0) = 0. Această contradicție înseamnă. Acest lucru dovedește teorema.
Corolarul 6.1. Pentru ecuația Ax = y are o soluție, este necesar, iar dacă imaginea Im A este închisă, și numai dacă f (y) = 0 pentru orice f funcțional. satisface ecuația conjugat omogen A'f = 0.
Corolarul 6.2. Pentru ecuația Ax = y pentru toți y rezolvabile Î L. necesar ecuației A'f = 0 pentru a avea doar soluția banală.
Dovada. Dacă Im A = Y. Teorema 6.2 pentru fiecare y și f Î Ker A „este f satisfăcut (y) = 0, adică. E. F = 0. Corolarul dovedit.
Corolarul 6.3. Ecuația A'f = 0 are o soluție unică dacă și numai dacă.
Teorema 6.3. Operator A. X ® Y are un invers mărginit
A - 1. Y ® X dacă și numai dacă există o constantă C> 0 astfel încât inegalitățile
Dokazatelstvo.Neobhodimost. Inegalitățile limitări pentru operatorii A - 1 și (A „) - 1 coincid cu inegalitățile (2) și (3).
Suficiență. Din (3) rezultă că = Ker A“. Apoi, prin Corolarul 6.3. Aplicarea Teorema 2.1 pe operatorul invers, obținem existența unui operator A mărginit - 1. Acest lucru dovedește teorema.
Observația 6.3. Spre deosebire de cazul unei solubilitate finită a ecuației Ax = y pentru orice partea dreaptă într-un spațiu infinit nu este legat de unicitatea solutiilor acestei ecuații. De exemplu, să A - unilateral stânga operator de schimbare A. l2 ® l2. A (x1. X2. ¼) = (x2. X3. ¼), Im A = l2. Ker A ¹.