-
introducere
- 1 definițiilor
- 2 proprietăți
- 3 Relațiile dintre elementele elipsei
- 4 coordona reprezentarea
- 4.1 elipsă ca oa doua curbă de ordin
- 4.2 Ecuația Canonical
- 4.3 Ecuația parametrică
- 4.4 Ecuația în coordonate polare
- 5 Lungime arc eliptic
- 5.1 Formulele aproximative pentru perimetrul
- 6 din dimensiunea elipsei și segmentul
- 7 Construcția elipsei
- 7.1 busole
- 7.2 Cu ajutorul unui conducător și busolă
- 7.3 Utilizarea a două ace și ață
- 7.3.1 îmbunătățirea metodei
A nu se confunda cu Ellipsis.
Elipsă și focarele sale și axa principală
Elipsă (al-greacă Ἔλλειψις. - omisiune, defect, în sensul lipsei excentricitate la 1) - locul geometric al punctelor M ale planului euclidian, pentru care suma distanțelor la punctele două date F1 și F2 (numite focare) este constantă și mai mare decât distanța dintre focii, care este
Cercul este un caz special al elipsei. Împreună cu hiperbola și parabole, elipsa este o secțiune conică și Quadric. Elipsa poate fi descrisă ca intersecția unui plan și cilindru circular sau ca o proiecție ortogonală pe planul cercului.
1. Determinarea înrudite
- Segmentul AB, care trece prin focarele elipsei, capetele care se află pe elipsa se numește axa majoră a elipsei. Lungimea axei majore este 2a în ecuația de mai sus.
- Segmentul CD, perpendicular pe axa principală care trece prin punctul central al axei majore, capetele care se află pe elipsa, numita axa mică a elipsei.
- Segmente, realizate din centrul elipsei la nodurile la axele majore și minore sunt numite, respectiv, axa principală și axa minoră a elipsei, și sunt desemnate a și b.
- Punctul de intersecție al axelor majore și minore ale elipsei se numește centrul său.
- Distanțele R1 și R2 de la fiecare dintre focii la un anumit punct de pe elipsa sunt numite raze focale în acest moment.
- Distanța este numită o distanță focală.
- Diametrul se numește o coardă arbitrară care trece prin centrul său. Diametrele Conjugat menționate la câteva diametre sale, cu proprietatea ca mijloc coardă paralel cu primul diametru, se află pe al doilea diametru. În acest caz, acordurile și paralela de mijloc la al doilea diametru, se află pe un prim diametru.
- raza elipsei la un anumit punct se calculează cu formula: unde x - unghiul la punctul dat.
- Parametrul focal numit jumătate din lungimea corzii care trece prin focalizarea și perpendicular pe axa principală.
- Raportul dintre lungimile mici și mari semi-axele elipsei este denumit raportul de compresie sau elipticitatea. . O valoare egală cu elipsa se numește compresie. Pentru coeficientul de compresie circumferentiala egal cu unitatea, compresie - zero. Raportul și excentricitatea elipsei sunt legate
2. proprietăţi
- proprietate optică. Lumina de la o sursă situată la o focalizare, reflectată de o elipsă, astfel încât razele reflectate trec din nou la a doua focalizare.
- Dacă F1 și F2 - focarele elipsei, atunci pentru fiecare punct X, aparține unei elipse, unghiul dintre tangenta la acest punct și o linie dreaptă (F1X) egal cu unghiul dintre această tangentă și linia (F2X).
- O linie dreaptă trasată prin mijlocul segmentelor să fie tăiate de două linii paralele care se intersectează elipsei va trece întotdeauna prin centrul elipsei. Aceasta permite construirea unei riglă și compas este ușor pentru a obține centrul de elipsă, și axa mai târziu, de sus și trucuri.
- Înfășurătoare a elipsei este astroidă.
- punctul elipsă de intersecție a axelor sunt nodurile sale.
- Excentricitatea elipsei egal cu raportul. Excentricitatea caracterizează elipsei. Excentricitatea este aproape de zero, elipsei este mai mult ca un cerc, și vice-versa, excentricitatea mai aproape de una, mai întinsă.
- Elipsa poate fi descrisă ca
- o cifră care poate fi obținută din cercul prin aplicarea unei transformări afină
- proiecție ortogonală pe planul cercului.
- Intersecția planului și cilindrul circular
3. Relațiile dintre elementele elipsei
porțiunea elipsă (descrisă. în „definițiile înrudite“ secțiune)
- - semiaxa mare;
- - axa mică;
- - distanță focală (între polurasstoyanie focarele);
- - parametru focal;
- - distanța perifokusnoe (distanța minimă de la focalizarea la un punct de pe elipsei);
- - apofokusnoe distanța (distanța maximă de la focalizarea la un punct de pe elipsa);
Centrul elipsă este nedegenerat curba a doua și satisface ecuația generală a formei
invarianților și în cazul în care:
Relațiile dintre curba invarianților de ordinul doi și semi-axele elipsei:
4.2. ecuația canonică
Pentru orice elipsă poate fi găsit un sistem de coordonate cartezian, astfel încât elipsa este descrisă de ecuația (ecuația canonică a elipsei):
Acesta descrie o elipsă centrată la origine, a căror axe coincid cu axele de coordonate. Pentru definiteness, să presupunem că, în acest caz, valorile a și b - respectiv, axa majoră și minoră a elipsei.
Cunoașterea jumătate de axa elipse putem calcula distanța focală și excentricitatea:
Coordonatele focarele elipsei:
Elipsă are două directoare, ale cărui ecuații poate fi scrisă ca
Parametrul focal (adică jumătate din lungimea coardei, care trece prin centrul elipsei și perpendicular pe axa) este egală cu
Focal razele r. E. Distanța de la focar la un punct arbitrar al curbei
diametru Equation, acorduri conjugate cu unghiulare coeficient k.
Ecuația tangentei se extinde prin punctul
Ecuația tangentei având un anumit coeficient k unghiular.
Ecuația normal în punctul
4.3. ecuaţia parametrică
Ecuația canonică a elipsei poate fi parametrizate prin:
unde - ecuația parametru.
4.4. Ecuația în coordonate polare
Dacă luăm în centrul elipsei pol, iar axa majoră - axa polară, ecuația în coordonate polare este de forma
în cazul în care e - excentricitatea și p - parametru focal. În cazul în care semnul pozitiv al e al doilea central al elipsei este în punctul atunci când un negativ - punctul în care distanța focală
Să r1 și R2 până la un punct distanta de dat elipsei primul și al doilea focii. Să, de asemenea, sistemul de coordonate pol este în primul focalizarea, iar unghiul cp este măsurat din direcția celui de al doilea pol. Apoi, din definiția unei elipse,
Pe de altă parte, din teorema cosinus
Cu excepția ultimelor r2 două ecuații, obținem
obținem ecuația dorită.