Dacă specificați un predicat, apoi, să-l transforme într-o declarație, este suficient, în loc de fiecare dintre variabilele incluse în predicatul, substituie valoarea sa.
De exemplu, în cazul în care numerele naturale definite predicatul A (x): „x - chiar și numărul“, apoi înlocuind un număr variabil de 4, obținem o afirmație adevărată „4 - chiar și numărul“ și prin substituirea unui număr variabil de 5, obținem o declarație falsă " 5 - un număr par ".
Există și alte metode de obținere a declarațiilor din predicatul. Înlocuim acest predicat înainte de cuvântul „toate“, obținem o propoziție falsă „Orice număr natural - chiar“. În cazul în care partea din față a predicatului înlocuim cuvântul „unii“, vom obține o declarație adevărată, „Unele numere naturale - chiar“.
Expresia „pentru orice x“ în logica se numește cuantificator universal, desemnat „x.
În matematică, împreună cu cuvântul „doar“ folosi cuvântul „toate“, „fiecare“, „orice“.
Declarație ( „x Î X) A (x) exprimă proprietățile tuturor obiectelor set X.
Expresia „pentru unele x“ ( „există un x. O astfel că ...“, „cel puțin unul“, „acolo“) se numește cuantificatorul existențial și reprezintă $ x.
Declarație ($ x Î X) A (x) exprimă existența unei multitudini de obiecte care au anumite proprietăți sau situate într-o anumită relație cu alte obiecte.
Astfel, pentru a face predicatul într-o declarație, suficient pentru a lega cuantificatorul universal și existența variabilelor conținute în acesta. X.
Aflați cum să setați valoarea adevărului declarațiilor care conțin cuantificatori.
Adevărul declarațiilor cu cuantificatorul universal este stabilită prin dovezi. Trebuie să ne asigurăm că înlocuirea fiecăruia dintre valorile lui x în ultima predicatul devine afirmație adevărată. Dacă setul X este finit, se poate face prin sortarea toate cazurile; în cazul în care X este infinit, este necesar să se efectueze argumentul în termeni generali. Pentru a fi siguri de falsitatea unor astfel de declarații (le respinge), da un contraexemplu este suficient.
Adevărul declarațiilor din cuantificatorul existențial este setat cu ajutorul unui exemplu specific. Pentru a fi siguri de falsitatea unor astfel de declarații, este necesar să se efectueze dovada.
Să ne aflăm cum să construiască o negare a declarațiilor care conțin cuantificatori. Luați în considerare afirmația: „toate numerele naturale - chiar“. Este fals. Acest lucru este ușor de văzut, citând un contraexemplu: 5 nu este un număr par. Posibil, înainte de această ofertă pentru a pune cuvântul „nu este adevărat că“. Apoi, negarea declarațiilor: „toate numerele naturale - chiar și“ spune „nu este adevărat că toate numerele naturale - chiar“. Ea are aceeași semnificație ca și propoziția „numere naturale nu sunt chiar.“
În general, în cazul dat o propoziție ( „x) A (x), atunci negația ei va oferi și ($ x). Având același înțeles.
Luați în considerare afirmația „unele cifre unice sunt împărțite în 10“. Este fals. Negarea acestei declarații este de a spune „nu este adevărat că unele cifre unice sunt împărțite în 10“, care are același înțeles ca și spunând că „toate cifrele unice sunt împărțite în 10“.
În general, în cazul dat de oferta ($ x) (x), atunci negația ei va oferi și (e). Ca având același înțeles.
Regula: pentru a construi o declarație negare la cuantificatorul universal (existență), este suficient să-l înlocuiască cu un cuantificator existențial (comunitate) și de a construi o negare a propunerilor care apar după cuantificator.
1. Cum pot transforma un predicat în declarația?
2. Dă exemple de cuvinte care sunt folosite ca un cuantificatorii universal și existențiale.
3. Se specifică modalitatea de stabilire a valorilor de adevăr ale declarațiilor care conțin cuantificatori?
4. Cum de a construi o negare a declarațiilor care conțin cuantificatori?
§ 5. Atitudinea și aderarea la echivalența între propoziții.
condiție necesară și suficientă
De multe ori există predicate că adevărul unuia dintre ei să fie un prieten adevărat. De exemplu, se poate spune că a predicatul A (x) „este un multiplu al numărului x 9“ trebuie predicat B (x) „este un multiplu al numărului x 3“, deoarece știm că pentru toate valorile lui x. în care declarația adevărată „un multiplu al numărului x 9“ va fi adevărată și afirmația „un multiplu al numărului x 3“.
Definiția. Predicatul B (x) rezultă din predicatul A (x), în cazul în care B (x) devine adevărată declarație pentru toate valorile lui x. predicat care este adevărat dacă A (x).
În acest caz, se spune că propoziția de date se află în relația de implicație logică și reprezintă: A (x) Þ B (x).
Dacă A (x) Þ B (x), predicatul B (x) se numește o condiție prealabilă pentru A (x), iar predicatul A (x) - suficient pentru B (x).
Deci, afirmația că dacă numărul este divizibil cu 9, atunci este un multiplu de 3, poate fi formulată după cum urmează: „multiplicitatea numărul 9 este o condiție suficientă pentru multiplicitatea numărul 3“ sau „pluralitatea de 3, aceasta este o condiție prealabilă pentru multiplicitatea 9“.
Ca și în orice declarație, propunere A (x) Þ In (x) poate fi adevărat sau fals. Dar, din moment ce poate fi formulat ca „toate A (x) este B (x)“, adevărul său este stabilit de probă, precum și faptul că acesta este fals - folosind contraexemplu.
Luați în considerare două predicate: A (x): „numărul de terminații nul“ și B (x): „număr este împărțit la 10“. De matematică școală este cunoscut faptul că în cazul în care numărul se termină cu un zero, atunci este divizibil cu 10. Reciproca este de asemenea adevărat. În acest caz, se spune că propunerile A (x) și B (x) sunt echivalente.
Definiția. Predicate A (x) și B (x) sunt echivalente dacă predicatul A (x) să fie predicatul B (x) și a predicat B (x) să fie predicat.
semn este utilizat pentru a desemna relația de echivalență Û.
Spunând A (x) Û (X) poate fi citit ca: A (x) este echivalentă cu (x) A (x) dacă și numai dacă B (x) A (x) este o condiție necesară și suficientă pentru B (x), B (x ) condiție necesară și suficientă pentru A (x).
1. Care este predicatul B (x) urmează din predicatul A (x)? În ce fel sunt multe adevăruri ale predicatului?
2. In cazul in care, predicatul A (x) va fi o condiție prealabilă pentru predicatul B (x) suficient pentru B (x)?
3. În orice caz, predicatul A (x) și B (x) sunt echivalente?