Primul criteriu a doi vectori coliniarității
Pentru doi vectori nenuli sunt coliniari dacă și numai dacă, acești vectori sunt liniar dependente.
Dovada. (If) Prin ipoteză, vectorii și sunt coliniari. În acest caz, există două posibilități:
1. Apoi, prin teorema pe aceiași vectori de direcție. și anume . în cazul în care.
2. În acest caz, folosind teorema vectorilor orientate opus au. și anume . Aici.
Deci, în cazul în care vectorii și sunt coliniari, atunci există un număr. asta. și această egalitate, în conformitate cu criteriul de dependență liniară a vectorilor este că vectorii și sunt liniar dependente. Prin urmare, în special, rezultă că oricare doi vectori sunt situate pe aceeași linie, sunt liniar dependente.
(Suficiență.) Să presupunem că vectorii și sunt liniar dependente. Apoi. în cazul în care - unele număr. Conform definiției unui produs scalar al vectorului, direcția vectorului în funcție de semnul scalar sau vector coincide cu direcția sau opusă direcției vectorului. și anume vector. egală. coliniar cu.
Al doilea criteriu coliniarității doi vectori
Pentru doi vectori nenuli sunt coliniari dacă și numai dacă același nume la proiecțiile acestor vectori pe axele sunt proporționale cu :.
Proporții expiră în mod oficial, atunci când cel puțin una dintre numitori este zero. Mai comun este următorul fapt notație proporționalitatea proiecțiilor similare ale vectorului pe axele de coordonate:
Cu toate acestea, folosesc adesea proporții.
Se presupune că, dacă oricare dintre numitorilor este zero, iar numărătorul corespunzător este de asemenea zero.
Dovada. (Necesitate) În cazul în care vectorii sunt coliniari, atunci conform primului criteriu a doi vectori coliniare, iar vectorii sunt liniar independente, și prin urmare. Din această ecuație, rezultă că. și anume .
Să fiecare dintre aceste raporturi sunt egale. Apoi.
Dacă, în plus față de aceste ecuații folosi teorema asupra descompunerii vectorului coordonatelor vectorilor unitare. atunci vom obține. sau, în funcție de multiplicarea vectorului proprietate cu un scalar. și anume .
Prin urmare, vectorii și sunt liniar dependente, și, prin urmare, în conformitate cu primul criteriu a doi vectori coliniare, și vectorii sunt coliniari, după cum este necesar.