Metoda potențialelor.
Esența acestei metode este încă în impunerea unor soluții parțiale pentru găsirea unor soluții de forma generală. În acest moment, ca soluții particulare elementare utilizate soluții care accesul la orice punct în spațiu la infinit. Cum se face acest lucru, vom explica exemplul ecuațiilor Laplace și Poisson.
Să - un moment dat al spațiului nostru este notată cu distanța de la punctul de la un alt punct variabil M. Funcție
este o funcție fixă a punctului variabilă M. Este ușor să vă asigurați că această funcție este o funcție armonică
punctul M în întregul spațiu, cu excepția, desigur, foarte punctul în care devine infinit, împreună cu derivații lor. Suma mai multor funcții ale acestei forme
punct în care orice punct în spațiu, va fi din nou o funcție armonică a punctului M. Această funcție va avea singularități la toate punctele din punctul de plasarea unui mod arbitrar dens într-un anumit volum în timp ce scăderea coeficienților, putem trece la limita în această expresie și de a obține o nouă gschgsch funcție
în cazul în care punctul M trece prin întregul volum al integralei de tipul în cauză se numește potențialul newtonian. Acesta poate fi dovedit, cu toate că nu vom face acest lucru, rezultanta satisface funcția
potențial newtonian are o semnificație fizică simplă. Pentru a înțelege semnificația acestui fapt, vom începe cu studiul funcției
Derivatele parțiale ale acestei funcții în raport cu coordonatele sunt
Punem un punct de masă, care va atrage întregul corp cu o forță îndreptată spre punctul și invers proporțională cu pătratul distanței. Extindeți această forță pe componente. Dacă rangul efectuat majoritatea forței care acționează asupra oricărui punct de material cu o masă egală cu unu, este că cosinusului compus direcția acestei forțe cu direcțiile axelor de coordonate vor fi: Prin urmare, componentele forței cu care acționează asupra greutății unității punctului M atragerea de centru sunt doar egal - derivatele parțiale ale funcției coordonatelor. Dacă am pus câteva puncte de atragere a maselor, fiecare punct de material cu o masă egală cu unul, plasat la punctul M, va experimenta o forță egală cu
rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra prin punctele individuale. Cu alte cuvinte,
Trecerea la limita și înlocuirea sumei printr-o integrală, obținem
Funcția derivatele parțiale din care sunt componente ale forței care acționează asupra unui punct, numit potențialul acestei forțe. Prin urmare, funcția reprezintă forța de atracție potențial funcție punct - grupa gravitațională funcția potențială și potențiale puncte de masă gravitațională, distribuite în mod continuu în volum
Mai degrabă decât a distribui greutatea într-o anumită măsură, putem pune câteva puncte de pe suprafața numărului tot mai mare de aceste puncte din nou, obținem în limita integralei
în cazul în care - punctul de pe suprafața
Este ușor de văzut că această funcție este armonic peste tot în afara suprafeței peste tot în ea. La suprafață, această funcție poate fi dovedit a fi continuu, dar ordinul derivatelor sale sunt supuse rupturii.
Funcții reprezintă, de asemenea, funcția armonică a punctului M la fix Aceste funcții, la rândul lor, pot face suma
funcțiile armonice care sunt peste tot, cu excepția, eventual, la punctele
Putem construi din nou limitele acestor sume prin creșterea numărului de puncte de importanță deosebită primește integralei
în care coordonatele punctelor variabile ale direcției normale de suprafață a suprafeței la - direcțiile axelor de coordonate; departe de la punctul M, care definește valoarea W. funcției
Integrala (22) este un potențial al unui strat simplu și integral (23) - capacitate strat dublu. Potențialul stratului dublu, precum și potențialul unui singur strat este o funcție armonică în interiorul și exteriorul suprafeței
Multe probleme în teoria funcțiilor armonice poate fi rezolvată prin intermediul unor potențiale. Cu o capacitate dublu strat poate rezolva problema de a construi în funcția armonică de artă și de a primi valorile stabilite la limita zonei. Pentru a construi o astfel de funcție, trebuie să selectați numai funcția corespunzătoare
Această problemă este oarecum similară în natură sarcina de a găsi coeficienții seriei
astfel încât aceasta reprezintă partea stângă.
O caracteristică remarcabilă a integralei este că valoarea sa de limitare la punctul M abordare a punctului de pe suprafața laterală interioară are forma
Echivalând această expresie într-o funcție dată obținem ecuația
Această ecuație se numește ecuația integrală de-al doilea tip. Există mai mulți oameni de știință au dezvoltat teoria acestor ecuații. Rezolvarea acestei ecuații folosind orice metodă, vom obține soluția problemei noastre.
Exact în același mod se poate obține soluționarea altor probleme în teoria funcțiilor armonice. Prin selectarea potențial adecvat
determina densitatea, adică. e. valoarea unei functii arbitrare, incluse în ea, astfel încât să satisfacă toate condițiile.
Din punct de vedere fizic, acest lucru înseamnă că orice funcție armonică poate fi reprezentată ca potențialul stratului dublu electric, dacă un astfel de strat răspândit pe întreaga suprafață cu densități selectate în mod adecvat.