20. Un spațiu unitar și axiomatic. matrici Unitare și Hermitian. Unitar și Hermitian transforma. Formele Hermitian.
Definiția. spatiu liniar Complexul este numit un spațiu unitar (sau Hermitian), în cazul dat legea atribuie fiecare doi vectori x și y ale unui număr complex (x, y), numit produsul lor scalar, și că legea satisface următoarele axiome, indiferent de vectori x, y și z și numărul
1) (x, y) =, adică atunci când factorii de transpunere produs scalar se înlocuiește cu numărul complex conjugat ..;
4) (x, x)> 0, daca x o.
Definiția. Matricea care satisface ecuația E =, se numește unitar.
Determinantul unei matrice unitare - un număr complex de valoare absolută 1.
Teorema. Pentru fiecare transformare liniară a spațiului unitar există bază ortonormală, în care matricea sa - superior triunghiulară.
Selfadjoint și transformare unitară. Conversia spațiului unitar numit adjoint dacă pentru orice vectori x și y, egalitatea (A (x), y) = (x, A (y)).
Din această definiție rezultă că este transformata de sine, dacă și numai dacă matricea sa în orice Hermitian bază ortonormală (matricea B, pentru care, numit Hermitian).
Conversia spațiului unitar astfel încât (A (x), A (y)) = (x, y) pentru toți vectorii x și y, numită transformare unitară. Transformarea este unitară dacă și numai dacă matricea sa în orice bază ortonormală este unitar.
Valorile proprii ale transformării unitare a unui modul.
Fiecare transformare unitară este o bază ortonormală de vectori proprii. Aceste transformări unitare diferă de transformatelor ortogonale în spațiu euclidian.
Formularul Hermitian în spațiu unitar. Să considerăm un spațiu unitar sesquilinear formă b. O transformare a spațiului este conectat la forma b, în cazul în care b (x, y) = (x, A (y)) pentru toți vectorii x și y. Matricea de transformare conjugată bază ortonormală coincide cu matricea, complex matrice conjugată formă sesquilinear b. Rezultă că conversia atașată la formularul Hermitian este autoadjunct. Acum putem concluziona că forma Hermitian în spațiu unitar există o bază ortonormală în care este diagonală cu numere reale pe diagonală.
Pentru două forme hermitian, dintre care unul este pozitiv definit, există o bază în care ambele sunt diagonala.