Scopul prelegerii. Luați în considerare metodele de bază de aproximare numerică a funcțiilor prin polinoame. Descrie metodele de funcții de interpolare polinomiale.
Destul de des există o problemă de restaurare a valorilor funcției, care este dat numai în anumite puncte. Este evident că, dacă cunoaștem valorile funcției numai în anumite puncte fixe, valorile funcției de la valori intermediare ale argumentului poate fi arbitrară. De multe ori, cu toate acestea, există unele a priori informații despre funcția proprietăților prin care este posibil să se găsească o valoare acceptabilă a funcției.
Pe intervalul dat o funcție numerică. Partitionarea unui set finit de puncte astfel încât
Punctele vor fi numite noduri. Să presupunem, de asemenea, că, împreună cu peretele despărțitor al segmentului ne sunt date un set de numere, care are sens al valorilor la punctele nodale. sarcina de interpolare este de a găsi valoarea funcției în orice punct. Mai rar apare sarcina extrapolare a fost de a găsi valoarea funcției în punctul. Vom lua în considerare, în principal problema de interpolare.
Problema Soluția interpolare poate fi reprezentată ca o funcție (algoritm)
Cu toate acestea, cel mai adesea printr-o soluție a problemei de interpolare pentru a înțelege construcția unei astfel de funcții, care este definită pe întregul interval. Aceasta se numește interpolare.
Metoda clasică de construire a funcției de interpolare este construirea unui polinom de grad
Este evident că pentru determinarea acestui polinom este necesar și suficient pentru a găsi valorile.
Arătăm că un polinom poate fi întotdeauna construite. Mai precis vom prezenta o formulă care ne va da polinomul de interpolare.
Este evident că aceste funcții sunt ele însele polinoame de ordine. Direct de la această formulă, avem următoarele relații
Apoi polinomul de interpolare necesară poate fi găsită de formula
Puteți verifica, de asemenea, că acest polinom este unic. Într-adevăr, orice alt polinom pentru care
avem asta. Apoi, polinomul este de grad nu este mai mare decât, și are, de asemenea, rădăcini. Prin teorema fundamentală a algebrei polinomului.
Polinom. dat de formula 14.1 se numește Lagrange interpolare formă polinomială.
Forma Lagrange a polinomului de interpolare nu este singura formă de polinomului de interpolare. Mai convenabil pentru calculele practice este polinomul de interpolare în forma Newton. Pentru un anumit segment, și împărțirea valorilor la aceste noduri introducem conceptul de diferență separată. Split, diferența dintre prima comanda este numărul
Separat diferența de ordinul doi este determinată prin formula recursie
Acum putem defini polinomul de interpolare sub forma formulei lui Newton
Desigur, polinomul interpolarea sub forma Newton coincide cu interpolare polinomul Lagrange în formă.
Deși formula pentru construirea polinoame de interpolare uite funcții simple metode de interpolare polinomială are dezavantaje serioase pentru valori mari. În primul rând, lucrul cu polinoame puternic, de obicei asociate cu instabilitatea computerului. În al doilea rând, după cum sa demonstrat K.Runge în lucrarea sa celebră în 1901, există o funcție infinit buna. pentru care polinomul de interpolare. construit pe o grilă uniformă poate fi infinit de mare deviere cu numărul de puncte nodale.
Luați în considerare acest exemplu. Fie funcția
definită pe. Această funcție are aproape toate proprietățile „bune“. Pentru a introduce fiecare punct nodal utilizând formula
Prin introducerea polinomul de interpolare. construite conform formulei 14.1. K.Runge sa demonstrat că, în acest caz, există o