Pentru a diferenția de $ interval (a, b) funcția de $ $ f (x) $ a crescut strict în acest interval, este suficient ca derivat $ f „(x) $ a fost strict pozitiv peste tot pe $ (a, b), $ și anume $ F „(x)> 0, \, \, x \ (a, b). $
Pentru a diferenția intervalul (a, b) funcția $ f (x) $ a crescut (nu a scăzut), în acest interval, este suficient ca derivat $ f „(x) $ este pozitiv peste tot pe $ (a, b), $ și anume $ F „(x) \ geq 0, \, \, x \ (a, b). $
In mod similar, scăderea funcției usloviemstrogogo diferențiabilă $ f (x), \, \, x \ (a, b) $ este starea $ f „(x)<0,\,\, x\in (a,b).$
Condiția de scădere (nu crește) funcția diferențiabilă $ f (x), \, \, x \ (a, b) $ este starea $ f „(x) \ leq0, \, \, x \ (a, b) . $
Lăsați funcția diferențiabilă într-un cartier de $ x_0, $ cu excepția, poate, x_0 cele mai multe puncte $, $ în care, cu toate acestea funcția $ f (x) $ continuă. Apoi, punctul $ $ x_0 yavlyaetsyatochkoy strogogomaksimuma. în cazul în care există un cartier de $ x_0 $ în cazul în care $ f „(x)> 0 dacă $ x $
Dacă $ f „(x)<0$ при $x
Definiția. puncte maxime și minime sunt numite puncte de extremum, iar valoarea funcției în acest moment - extreme.
Lăsați funcția $ f (x) $ continuă la $ [a, b] $ și are pe ea $ k $ maxime locale la punctele de $ x_1, \, x_2. . $ X_k Apoi, cea mai mare znacheniefunktsii $ f (x) $ în $ interval [a, b] $ egal cu cea mai mare dintre numerele: $$ f (a,) \, f (x_1). f (x_k), f (b). $$
În mod similar, în cazul în care funcția $ f (x) $ continuă la $ [a, b] $ și are pe ea $ n $ minimele locale la puncte de $ x_1“, \, \, x_2' . x'_n, $ atunci cea mai mică valoare în acest interval este egal cu cel mai mic dintre numerele: $$ f (a), \, f (x_1 '), f (x_2'). f (x_n „), f (b). $$
Pentru a funcționa $ f (x), $ de două ori pe intervalul $ (a, b), $ este convexă în jos, în acest interval, este necesar și suficient ca al doilea derivat $ f '' (x) $ a fost negativ la $ (a, b), $ adică $ f '' (x) \ geq 0, \, \, x \ (a, b). $
Condiția $ f '' (x)> 0, \, \, x \ (a, b) - condiție $ convexității stricte în jos.
Dacă $ f '' (x) \ leq 0, \, \, x \ (a, b) - $ este convexă în sus. $ F '' (x)<0 -$ условие строгой выпуклости.
În cazul în care funcția $ f (x) $ în care trece prin punctul $ $ x_0 inversează convexitate, punctul $ $ x_0 numit punct de inflexiune.
Funcția $ f (x) $ este numit chiar. dacă $ f (x) = f (-x); $
Funcția $ f (x) $ este numit ciudat dacă $ f (x) = -. F (-x) $
Găsirea asymptotes.
Ea a numit asimptota verticala a graficului.
Pentru a direcționa $ y = kx + b $ are asimptota graficului $ y = f (x) $ la $ x \ rightarrow + \ infty \, \, \, $ dacă $ (x \ rightarrow - \ infty) $ este necesar și suficient, pentru a $$ \ lim \ limits_ \ Frac = k \ quad \ stânga (\ lim \ limits_ \ Frac = k \ dreapta) $$
în cazul orizontal asimptota $ (k = 0) $ în loc de (1) trebuie să direcționeze $ y = b $ este asimptota orizontală a graficului de $ y = f (x) $ la $ x \ rightarrow + \ infty $ (la $ x \ rightarrow- \ infty $), este necesar și suficient pentru a
Trasarea.
Atunci când reprezentarea grafică a funcțiilor să adere confortabil la următoarea schemă.
1. Găsiți domeniul funcției.
2. Verificați dacă funcția este chiar, ciudat, periodice.
3. Găsiți punctul de intersecție al graficului cu axele de coordonate, intervale în cazul în care valorile funcției sunt pozitive, negative. Găsiți un punct de discontinuitate.
4. Găsiți asimptota graficului.
5. Se calculează prima derivată pentru a determina intervalele de creștere și descreștere funcției. Găsiți punctul de extremă.
6. Găsiți derivata a doua, găsi punctul de inflexiune al graficului, spațierea se umfle în sus și în jos.
7. Desenați graficul funcției.
Exemplu unei investigații complete a funcției și plotarea.
Pentru a efectua un studiu complet al funcției și se construiește graficul acesteia.
1) Găsiți domeniul funcției, continuitatea și discontinuități punctiforme intervalele funcții:
determinarea regiunii. Această funcție, ca un continuu elementar la fiecare punct de determinare. Punctul - punctul de discontinuitate.
Funcția nu este nici măcar, nici ciudat.
Funcția nu este periodică.
Punctele de intersecție cu axa Oy nr :.
Punctul de intersecție cu axa Ox :. Ie curba trece prin punctul.
2) Găsiți asimptota graficului.
asymptotes verticale pot fi la punctele de discontinuitate. Găsim funcția de limite cu o singură față, la acest punct.
.
Astfel, atât linia de limită este asimptota fără sfârșit și pe verticală.
asimptotă Înclinat dată de ecuația unde
;
.
Astfel, panta funcției asimptota nu are.
3) calcula derivata funcției și a găsi monotonie și intervalele Extrema.