Studiu Practica fenomenelor aleatoare arată că, deși rezultatele observațiilor individuale, chiar și în aceleași condiții, pot fi foarte diferite în același timp, rezultatele medii pentru un număr suficient de mare de observații sunt stabile și depind doar ușor de rezultatele individuale ale observațiilor.
Justificarea teoretică pentru aceste proprietăți remarcabile ale fenomenelor aleatoare este legea numerelor mari. Numit „legea numerelor mari“ teoria grupurilor combinate, stabilirea stabilitatea rezultatelor medii ale unui număr mare de evenimente aleatorii și să explice motivul pentru această stabilitate.
Cea mai simplă formă a legii numerelor mari, și istoric prima teorema a acestei secțiuni - teorema lui Bernoulli. afirmând că, dacă probabilitatea unui eveniment este aceeași în toate testele, testele cu creșterea frecvenței evenimentelor tinde să probabilitatea de evenimente, și încetează să mai fie aleatorii.
Poisson teorema afirmă că frecvența evenimentului într-o serie de studii independente este angajat la media aritmetică a probabilității sale și încetează să mai fie întâmplătoare.
Teoreme limită de teoria probabilităților, De Moivre-Laplace explica natura ocurentei evenimentelor de stabilitate de frecvență. Natura acestui fapt este că distribuția limită a numărului de apariții ale evenimentului, cu o creștere nelimitată a numărului de teste (în cazul în care probabilitatea unui eveniment este aceeași în toate testele) este o distribuție normală.
Teorema limită centrală explică difuzarea largă a legii normale de distribuție. Teorema afirmă că ori de câte ori valoarea aleatoare este generată prin adăugarea unui număr mare de variabile aleatoare independente cu variații finite, legea de distribuție a acestei variabile aleatoare este legea aproape normală.
Teorema de mai jos se numește „legea numerelor mari“, el spune că, în anumite, destul de generale, condiții, cu o creștere a numărului de variabile aleatoare tinde să media lor aritmetică a mediei aritmetice a așteptărilor și încetează să mai fie accidentale.
Lyapunov teorema explică distribuția pe scară largă a legii normale și explică mecanismul de formare a acesteia. Teorema sugerează că ori de câte ori valoarea aleatoare este generată prin adăugarea unui număr mare de variabile aleatoare independente, varianța este mică în comparație cu valoarea varianței, legea de distribuție a acestei variabile aleatoare este legea aproape normală. Deoarece variabilele aleatoare sunt întotdeauna generează un număr infinit de motive și, adesea, nici unul dintre ele are o variație, care este comparabil cu variația variabilei aleatoare, majoritatea care apar în practica de variabile aleatoare respectă o lege de distribuție normală.
Baza declarațiilor calitative și cantitative ale legii numerelor mari este inegalitatea Cebîșev. Acesta definește limita superioară a probabilității ca abaterea valorii variabilei aleatoare de la așteptarea sa este mai mare decât unele număr predeterminat. Remarcabil, inegalitatea Cebîșev dă o estimare a probabilității evenimentului pentru o variabilă aleatoare a cărei distribuție este necunoscut, cunoscut numai de așteptare și variația acesteia.
inegalitate Cebîșev. Dacă variabila aleatoare X are o dispersie, atunci pentru orice e> 0 inegalitate unde M x și D x - media și varianța variabilei x aleatoare.
Teorema lui Bernoulli. Să m n - numărul de succese în studiile lui Bernoulli n și p - probabilitatea de succes într-un singur proces. Apoi, pentru orice e> 0 deține.
Teorema limită centrală. În cazul în care variabilele aleatoare x 1. x 2. ..., x n. ... reciproc independente, identic repartizate și au varianță finită, atunci când n ® uniform în x (-,)
Legea numerelor mari. În cazul în care variabilele aleatoare x 1. x 2. ..., x n. ... reciproc independente și, pentru orice e> 0
Apoi, F = (b) - F (a) pentru orice numere reale a și b. unde F (x) - funcția de distribuție a legii normale.