Pentru fiecare matrice pătratică este introdusă importantă caracteristică numerică numită determinantul acestei matrice. Regula prin care elementele matricei pătrate de orice ordine calculat determinantul său este destul de greu, așa că vom introduce această regulă „treptat“, crescând ordinul determinantului. Atâta timp cât ne limităm la o astfel de definiție non-constructive.
Fiecare matrice pătratică poate fi potrivit unor reguli asociază un număr care se numește determinantul (sau determinanților) al matricei. Pentru determinantul unei matrice pătratică vizualizare A. perspectivă care
folosesc diferite notatii.
Indicăm cele mai frecvente: det A, D. D (A) sau dislocat, care enumeră toate elementele matricei
Linii drepte, înlocuind runda (matrice) paranteze indică faptul că ceea ce se înțelege este determinantul matricei, adică, număr unic și nu matricea A.
Vom aborda definirea strictă a determinantului, acesta este în general considerat secvențial pentru factorii determinanți ai matricele 1, 2 și ordinea treia.
Determinantul matricei de ordinul 1 este un număr egal cu singurul element de matrice existent al matricei. Definiția este atât de simplu încât nu este nevoie pentru a ilustra exemplul său.
Determinantul matricei de ordinul 2: Dacă A =.
Să considerăm determinant al matricei a treia = poryadkaA.
Formula de calcul a procedurii determinant imennotretego este simplificată
care schematic (pentru memorie) poate fi scrisă astfel:
- primele trei termeni (luate cu semnul +)
- 3 termeni (luate cu semnul -)
Exemplu. Să ne găsim o schemă simplificată factor determinant al matricei.
Pentru a defini o regulă de calcul factori determinanți de ordin mai mare de 3, vom introduce mai întâi câteva obiecte noi.
Minor aij element de matrice (notat Mij) este valoarea determinantului matricei obținute din această matrice prin ștergerea rândului și coloanei la a cărui intersecție este elementul activ (adică, prin eliminarea ith rând și j th coloana).
Aij Element de matrice cofactor (notat Aij) este un număr determinat de formula
Deoarece (-1), în întreaga măsură durează doar două valori (1 - dacă exponentul este un număr chiar și (-1) - dacă este impar), elementul de matrice cofactor sau nu diferă de cea a elementului minor (în cazul în care suma subscriptul - adică suma numerelor rândului și coloanei - există un număr par) sau diferit de minor numai în semn (în cazul în care suma indicilor inferiori este impar).
Exemplu. Găsiți minori și cofactori tuturor elementelor matricei
Mai întâi de toate elementele caută minori.
Având în vedere formula și explicație pentru această formulă, obținem următoarele cofactori
Determinant unei matrice pătrate (orice ordine!) Este un număr egal cu suma produselor pereche ale elementelor orice rând (coloană) prin cofactori lor.
Pentru a calcula determinanților matrici superior (al treilea), comandați schemele simplificate au totuși utilizate numai metoda dată în definiția: rândul selectat sau coloană a matricei este calculată și suma produselor pereche ale elementelor corespunzătoare ale matricei prin cofactori lor. În același completărilor algebrice - cel mai consumatoare de timp pas. Dar, ca linia (sau coloana) poate fi ales în mod arbitrar (rezultatul este independent), este mai ușor să aleagă pe cea care este la fel de mult posibil la elementele de zero. Astfel, cofactori zero, elemente care nu pot fi luate în considerare, deoarece termenii corespunzători toate egale produsele zero, în rândul său pereche prepararea sumei menționată mai sus.
Exemplu. Se calculează determinantul ordine 4 :.
Decizie. Cel mai mare număr de zerouri în oricare dintre rânduri sau coloane este 2. Prin urmare, pentru a calcula determinantul selectați orice linie sau coloană cu două zerouri. Am ales, de exemplu, prima coloană (în acest caz, spun că determinant va fi extins în prima coloană):
Eclozat două ordine treilea factor determinant poate fi luat în considerare pentru schema simplificată de mai sus.
Dacă la zero elemente de matrice printre puținul (sau deloc), este posibil să se acțiuni specifice conduc la acest tip de determinant care are un rând (sau coloana), care este diferit de un singur element de zero. După aceea determinant se descompune ușor de calculat pe această linie (coloana). Determinant cauza pentru acest tip de ajutor pentru proprietățile determinanților discutate mai jos.
1. Determinantul nu se schimbă dacă vă transpune.
2. Dacă unul dintre rândurile de determinant constă din zerouri, determinantul este zero.
3. În cazul în determinantul rearanja două rânduri, modificările determinante semnează.
4. determinant care cuprinde două rânduri identice dispare.
5. În cazul în care toate elementele unui rând de determinantului se înmulțește cu un numar k, factorul determinant în sine înmulțit cu k.
6. determinant care cuprinde două linii proporțională este zero.
7. În cazul în care toate elementele i-lea rând de determinantului exprimat ca sumă a doi termeni ai j = bj + cj (j =), atunci determinantul este egal cu suma determinanților pentru care toate rândurile cu excepția i-lea - cum ar fi într-un predeterminat determinant, și rândul i-lea într-una dintre componentele constă din elemente BJ. într-un alt - a elementelor cj.
8. nu se schimbă determinant dacă elementele de una dintre liniile sale sunt adăugate elemente corespunzătoare ale unui alt rând înmulțit cu același număr.
Notă. Toate proprietățile rămân valabile în cazul în care în loc de șiruri ia coloanelor.
Determinarea rangului unei matrice.
Să considerăm o matrice m xn dreptunghiular. Dacă această matrice aloca arbitrar rânduri k și k coloane, elementele care stau la intersecția rândului selectat și coloana formează o matrice pătrată de ordinul k. Determinantul acestei matrice se numește un ordin k minor al matricei A. Este evident că matricea A are minori orice ordine de la 1 până la cea mai mică dintre numerele m și n. Dintre toți minorii nenule ale matricei A, există cel puțin un minor, ordinea care va fi cel mai mare. Cel mai mare dintre ordinele minorilor matricei, diferite de zero, se numește rangul matricei. Dacă rangul matricei A este egal cu r. aceasta înseamnă că matricea A are un minor nenul de ordin r. dar fiecare minoră de ordin mai mare decât r. este zero. Rangul matricei A este notat cu r (A). Este evident că relația
0 £ r (A) £ min (m, n).
Rangul matricei este fie minori de halo, sau prin transformări elementare. La calcularea rangul de prima metodă ar trebui să treacă de la ordinele inferioare minorilor minori de ordin superior. Dacă va fi găsit deja D ordin minor k al matricei A, un nenul, necesită apoi calcul numai minori (k + 1) Pentru D Minor fringing -lea, adică care îl conține, ca un minor. Dacă acestea sunt egale cu zero, atunci gradul egal cu k.
Exemplu. Găsiți o metodă de margine gradul de minori.
Decizie. Incepem cu minorii de ordinul 1, adică, cu elemente ale matricei A. Să alegem, de exemplu, (elementul) minor M1 = 1 situat în primul rând și prima coloană. Sunt mărginită de-al doilea rând și coloana a treia, minor obține M2 =. nenul. Ne întoarcem acum la minorii de ordinul trei fringing M2. Doar două dintre ele (poți
adăuga o coloană a doua sau a patra). Noi le calcula: = 0. Astfel, toate pentru a treia minori dantelate au fost egale cu zero. Rangul matricei A este egal cu doi.
6. matricea elementară.
Elementar numit următoarea matrice de transformare:
1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane)
2) multiplicarea rând (sau coloana) la un număr de zero,
3) adăugarea unui rând (sau coloana) a unui alt rând (sau coloana) înmulțit cu un număr.
Două matrici sunt numite echivalente. în cazul în care una dintre ele se obține din celălalt printr-un set finit de transformări elementare.
matrici echivalente nu sunt, în general, egal, dar rândurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci este scris ca: A
matrice Canonical este o matrice în care la început
dintre care principale rând pe diagonală câteva unități (numărul
Acesta poate fi zero), și toate celelalte elemente sunt zero,
de ex.
Folosind transformări elementare de rânduri și coloane de orice matrice poate fi redusă la canonică. matrice canonică Locul este egal cu numărul de unități în principalele sale diagonală.
Exemplu. Găsiți gradul de A = și aduceți-l la o formă canonică.
Decizie. Din al doilea rând și primul Scădeți permuta aceste linii: .acum din a doua și a treia rândurile de mai întâi de scădere, înmulțit cu 2 și 5 :; a treia linie scade de-al doilea; Obținem V. matrice care este echivalentă cu matricea A au fost obținute de acesta printr-un set finit de transformări elementare. Este evident că gradul de matrice B este egal cu 2, și deci r (A) = 2. Matricea duce cu ușurință la canonică. Scăzând prima coloană este multiplicată cu numărul corespunzător al oricăror ulterioare inversabil la zero toate elementele din primul rând, cu excepția primei, elementele celorlalte rânduri nu sunt modificate. Apoi, prin scăderea a doua coloană înmulțită cu numărul corespunzător oricărei inversabil ulterioare la zero toate elementele din rândul al doilea, cu excepția a doua și a obține matricea canonică :.
Să considerăm matricea pătrată
Fie D = det A.
O matrice pătrată A este nesingular sau nesingular. dacă determinantul său este diferit de zero și degenerată, sau speciale. în cazul în care D = 0.
In matricea pătrată se numește inversa unei matrice A pătrat de aceeași ordine, în cazul în care produsul A # 903; # B = 903; A = E, unde E - matricea identității de același ordin ca și cea a A și B.
Teorema. Pentru matricea A fost retroactivă, este necesar și suficient ca determinant sa fie diferit de zero.
Matricea inversă A, notat cu A - 1, astfel încât B = A - 1 Matricea inversă se calculează cu formula:
unde A ij - cofactori elemente a ij.
Calculul matricei inverse utilizând formula pentru matrici de ordin superior este foarte dificil, astfel încât, în practică, este convenabil să se găsească o matrice inversă prin metoda transformărilor elementare (VC). Orice matrice A non-singular de EPO poate conduce doar la coloanele matricei de identitate (sau rânduri numai) E. Dacă comise deasupra matricei A VC în același mod ca cel aplicat unității matricei E, rezultatul va fi matricea inversă. Este convenabil să se efectueze EP pe matrici A și E, în același timp, înregistrarea matricei aproape deasupra liniei. Rețineți din nou că, atunci când găsirea forma canonică a matricei, în scopul de a găsi rangul ei pot folosi transformări de rânduri și coloane. Dacă doriți să găsiți inversa unei matrice, numai rânduri sau numai coloanele care urmează să fie utilizate în procesul de transformare.
Exemplu. Pentru o matrice A = găsi invers.
Decizie. Găsim primul determinantul matricei A
D = det A = 27 ¹ 0, atunci matricea inversă există și o putem găsi cu ajutorul formulei: A - 1 = 1 / D. unde Ai j (i, j = 1,2,3) - elemente cofactori ai j din matricea inițială. Avem:
Exemplu. Metoda transformărilor elementare pentru a găsi matricea inversă pentru matricea A =.
Decizie. Atribuit dreapta original, matricea de identitate matrice de același ordin :.
Folosind transformările elementare din stânga coloanele da „jumătate“ la unitatea, efectuând simultan exact chiar deasupra matricei de transformare.
Pentru a face acest lucru, am interbancare prima și a doua coloane:
Pentru a treia coloană se adaugă primul și al doilea - primul înmulțit cu -2 :.
Din prima coloană scade de două ori al doilea, iar al treilea - al doilea înmulțit cu 6 :.
Adăugați o a treia coloană de la primul și al doilea :.
Înmulțim ultima coloană de -1 :. Dreptul rezultat al matricei verticale linie pătrat este inversul matricei A.
Întrebări pentru auto-control:
1. Dați o definiție a matricei.
2. Ceea ce se numește o matrice diagonală?
3. Formulați conceptul matricei de identitate.
4. Care sunt operațiile pe matrice, știi?
5. Dă conceptul de o matrice pătrată.
6. Ceea ce se numește matricea fost de acord?
7. Definirea determinantul unei matrice pătratică.
8. Introduceți formula de calcul determinanții doua și a treia comenzi.
9. Identificați proprietățile de bază ale determinant.
10. Lista metodele de calcul al determinantul?
11. Definiți rangul unei matrice.
12. Ceea ce se numește matricea canonic?
13. Formulați conceptul de matrice echivalentă.
14. Care sunt matricea elementară, știi?
15. Specificați condiția necesară și suficientă pentru existența matricei inverse.
16. Notați formula de calcul a matricei inverse.