Densitatea spectrală - este o funcție complexă-evaluată de frecvență, în același timp, informații justificative, cum ar fi amplitudinea și faza a undelor sinusoidale elementare.
Proprietățile teoremelor de densitate spectrală:
Dacă există un anumit set de semnale în plus, ..., atunci suma ponderată a semnalelor este convertit de către Fourier urmează: .Aici - coeficienți numerice arbitrare.
II. Teorema pe schimburi.
Să presupunem că linia de semnal este cunoscut. Luați în considerare același semnal, dar apare în câteva secunde mai târziu. Având un punct de referință pentru un nou timp de pornire, denota semnalul ca stramutate. Introducem schimbarea de variabile. Apoi.
Modul pentru orice număr complex este de 1, astfel încât componentele armonice ale amplitudinii elementare pentru care există un semnal care nu depinde de poziția sa pe axa timpului. Informații despre semnalul caracteristic se află într-o frecvență în funcție de densitatea spectrală argument (spectrul de fază).
Să presupunem că semnalul inițial supus schimbării de scara timpului. Aceasta înseamnă că rolul jucat de momentul în care noua variabilă independentă - Dacă un> 1, atunci există o „comprimare“ a semnalului original (un număr real.); dacă 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если . то :
schimbarea Proizvedom de variabile. atunci. ceea ce implică:
În timpul compresiei semnalului în timp pe axa timpului de către același timp, extinderea spectrului său pe axa de frecvență. densitatea spectrală a modulului în același timp scade.
Evident, atunci când semnalul de timp este întins (de exemplu, <1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.
IV. Teorema privind spectrul derivatului și nedefinită integrală.
Lăsați semnalul și planul său spectrale sunt date. Vom studia noul semnal și a pus scopul este de a găsi densitatea spectrală.
Transformata Fourier - funcționare liniară, înseamnă că egalitatea (2.14) este valabil și în ceea ce privește densitatea spectrală. Obținem teorema in ture:
Introducerea funcție exponențială serie Taylor: înlocuind seria în (2.15) și doar primele două numere, vom găsi
Astfel, diferențierea semnalului în raport cu timpul este echivalentă cu o multiplicare algebrică simplă a densității spectrale de un factor. Prin urmare, ei spun că numărul imaginar este un operator de diferențiere, care operează în domeniul de frecvență.
A doua parte a teoremei. Revizuirea funcțiilor este nedeterminată parte integrantă a funcției. Este parte integrantă. Aceasta înseamnă - densitatea spectrală și din formula (2.16) este egal cu: (2.17)
Astfel, factorul este operatorul de integrare în domeniul de frecvență.
V.Teorema de convoluție.
După cum se știe, în însumarea semnalelor, sunt adăugate spectrele lor. Cu toate acestea, semnalele din spectrul produsului nu este egal cu produsul spectrelor, așa cum este exprimată într-o relație integrală specială între spectrele factorilor.
Să - cele două semnale, care sunt cunoscute pentru a se potrivi. produs .Obrazuem acestor semnale: și se calculează densitatea spectrală. Ca regulă generală: (2.18)
Aplicând transformata inversă Fourier, putem exprima semnalul prin densitatea spectrală, și substituie rezultatul în (2.18):
Prin schimbarea ordinii de integrare, avem:
Integrala din partea dreaptă este numită convoluția funcțiilor V și operare convoluția U. Simbolic este desemnat ca *:
Astfel, densitatea spectrală a produsului a două semnale de până la un factor numeric constant egal cu convoluție densitățile spectrale ale factorilor: (2.20)
operațiune sinuozitate este comutativă, adică, Aceasta permite schimbarea ordinii funcțiilor convertite:
Teorema lui convoluție poate fi inversată dacă densitatea spectrală a unui semnal reprezentat ca un produs. și mai mult decât atât. semnalul este o convoluție a semnalelor și. dar nu și în privat. și în domeniul timp (2.21)
VI. teorema Plancherel
Lăsați cele două semnale și. în general complexe. identificate prin inversul lor transformare Fourier:
Găsim produsul interior al acestor semnale, care exprimă unul dintre ele, de exemplu. prin densitatea spectrală:
Aici, integrala interioară reprezintă densitatea spectrală a semnalului, prin urmare: (2.22)
Produsul scalar a două semnale de până la un factor proporțional cu produsul scalar al densității spectrale.