Curs 11. Valorile proprii și funcțiile autovalorile
eigenvalue problemă. În general vorbind, sarcina este de a investiga și de a rezolva ecuația de forma
unde A - un operator liniar, și - numărul funcției, și anume, găsi o clasă de astfel de funcții, acțiunea operatorului care vine la multiplicarea numărului. Aceste funcții sunt numite funcțiile proprii ale operatorului.
De obicei, considerat a fi o caracteristică obișnuită și lipsită de ambiguitate. O restricție tipică pentru o funcție, această cerință membrelor peste tot, inclusiv la infinit. În cazul terenurilor restricționate - sisteme închise (de exemplu, pe segmentul) - condiția la limită este funcții de conversie dispar la limita. In general vorbind, soluția ecuației (11.1) există numai pentru valori speciale, precum și, numite autovalorile operatorului A:
unde valorile proprii și funcțiile proprii corespunzătoare.
Exemplu. ecuația Schrödinger Nu dependent de timp
Aceasta duce la o problemă de valori proprii pentru operatorul total de energie care corespund propriei sale funcții
Degenerarea. Valorile proprii sunt numite non-degenerate, atunci când fiecare dintre ele corespunde cu (până la un factor constant), doar un singur eigenfunction. În caz contrar, numit degenerate valori proprii (de două ori, cu trei straturi și t. D.).
Funcția proprie ortogonalitate. Să presupunem că toate valorile proprii ale lui A în (11.2) (numărul de potrivire fiecare alte valori proprii caracterizează gradul de degenerării). Mai mult, lăsați corespunzătoare funcțiile proprii. Conform capitolului 9, funcții formează un sistem de funcții ortogonale pentru ecuația (11.3), în cazul în care operatorul A pentru a lua energia totală a sistemului (Hamiltonian).
Definiție 1. Produsul scalar al funcțiilor este o expresie
[Rețineți că aici, semnul integral, în funcție de natura funcțiilor este un simplu integrantă peste o triplă integrală pe o sumă generală a tuturor punctelor, care definesc ambele funcții.
Definiție 2. Funcțiile sunt ortogonale dacă
Întrebare. În ce condiții de funcții proprii ecuației (11.2), care corespund la diferite valori proprii sunt ortogonale între ele?
Răspuns. Este necesar și suficient ca operatorul A este Hermitian, și anume:
Operatorii Hermitian.
Definiție 3. Operatorul A se numește Hermitian dacă egalitatea
Exemple de operatori Hermitian:
(Hermiticity să pună în aplicare acești operatori, condiții limită corespunzătoare necesare, în general).
Lema. În cazul în care A este Hermitian, forma este real.
Pe baza proprietăților și definiția (11.6), avem
QED.
Teorema 1. Dacă A este Hermitian, atunci toate valorile proprii sale sunt reale.
Noi pornim de la ecuația a celor două părți, care se multiplică un scalar pe stânga
Acum, folosind proprietatea (11.6), obținem:
QED.
Teorema 2. Dacă A este Hermitian și valorile proprii sunt diferite, atunci funcțiile proprii corespunzătoare sunt ortogonale.
Următoarele operații sunt evidente:
Partea stângă a acestei ecuații este zero, datorită Hermitian operatorului A (care, în consecință
QED.
Kvaziteoremy.
În cazul în care produsul este real pentru toate funcțiile pe care operatorul A este Hermitian [teorema inversa Ierna (11,7)].
În cazul în care toate produsele sunt zero pentru toate operatorul Hermitian A [teorema, teorema inversă (11,9)].
Aceste teoreme vor fi explicate mai târziu.
ortogonale normalizează. funcții proprii
Dacă A - operatorul Hermitian, și
atunci orice ortogonală sub orice
Dacă există o degenerare a acesteia ar trebui să aplice procedura descrisă în capitolul 9 la p. 47.
Normalizarea. Shared Metoda funcțiilor de normalizare este după cum urmează. Fiecare funcție este împărțită în urma urmei împărțit, pentru noua egalitate
Kvaziteorema. Descompunerea unei funcții „arbitrară“, în funcții proprii conține coeficienții de produse de forma
Cu alte cuvinte, avem identitatea
Această afirmație va fi prezentat mai târziu. Dacă identitatea (11,15) este valabil pentru toate funcțiile sistemului de funcții (11.12) se numește un sistem complet de funcții ortogonale normalizat (complet sistem ortogonală).
Un sistem complet de funcții ortonormate.
La sfârșitul capitolului 9 a fost spus despre conceptul de completitudine a funcțiilor sistemului; aceasta este doar ar trebui să fie adăugate aici considerațiile ortogonalitate și normalizarea.
Definiția. Valoarea medie a operatorului A în raport cu aceeași funcție
Exemplu. În cazul în care o funcție este normalizat la 1,
De aceea, greutatea statistică, utilizată în medierea coordonatele x, este egal cu
Teorema. Valoarea medie reprezintă un număr real operator de Hermitian.
Acest lucru rezultă din relațiile (11,7) și (11.16).
Kvaziteorema. În cazul în care valoarea medie a operatorului cu privire la toate funcțiile este real, atunci acest operator este Hermitian.
Validitatea acestei teoreme va fi prezentat mai târziu; ea pur și simplu, rezultă din (11,15).
Supliment: "delta" în funcție de Dirac. Prin definiție, funcția Dirac are următoarele proprietăți:
când intervalul de integrare cuprinde un punct în cazul opus (fig. 8).
Fig. 8. O reprezentare vizuală a Dirac-funcția. Aria de sub curbă este egală cu unu; înălțimea vârfului este infinit
Dirac -funcție poate defini și de a limita prin tranziții
Aceste definiții reflectă, de asemenea, paritatea caracteristica-funcție.
Iată câteva dintre proprietățile de bază ale -functions. în primul rând
Dacă luăm acum derivata de pe ambele părți ale (11.21), în ceea ce privește o, obținem o altă proprietate:
Acum scrie extinderea Fourier sunt funcții:
Este ușor de văzut că transformata Fourier a acestei funcții este egal cu 1. Conform regulii (11.15) extinde-funcția într-o serie în funcții proprii unei probleme:
luând în considerare (11.21), obținem: