Funcția de distribuție a unui sistem de două variabile aleatorii
și satisface următoarele proprietăți:
Se spune că un sistem de două variabile aleatoare este distribuit continuu. dacă funcția lor de distribuție este continuă pe întregul plan și există o funcție integrabilă non-negativă fX, Y (x, y), numită densitatea distribuției de probabilitate
Densitățile distribuției de probabilitate pentru fiecare variabilă sunt exprimate ca:
Apoi, conform (1.13.2, 1.13.3):
Pentru un sistem de două variabile aleatorii
se numește coeficientul de corelație al unui sistem de două variabile aleatorii. Aici sunt abaterile standard. Coeficientul de corelare satisface condiția și determină gradul de dependență liniară dintre X și Y.
Exemplul 1. Găsiți funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale în raport cu o densitate de distribuție în comun
a cărui grafic este prezentat în Fig. 1.13.1.
Soluția. Utilizăm formula (1.13.3):
Schema funcției de distribuție construită este prezentată în Fig. 1.13.2.
Exemplul 2. Densitatea de probabilitate a unui sistem de variabile aleatoare este dată:
Determinați coeficientul a, funcția de distribuție a sistemului, așteptările matematice și varianțele sistemului de variabile aleatoare și momentul de corelare a acestora. Găsiți legile de distribuție unidimensionale ale fiecărei cantități.
Soluția. Pe baza proprietății de normalizare (1.13.5), determinăm coeficientul a:
Apoi a = 0.5, iar densitatea de probabilitate a sistemului variabilelor aleatoare f (x, y) preia forma concretă:
Conform (1.13.3), definim funcția de distribuție a probabilității unui sistem de variabile aleatoare FX, Y (x, y):
Folosind formulele (1.13.6), determinăm densitățile de distribuție a probabilității pentru fiecare variabilă:
0,5 s s x + 0,5 sin x.
f Y (y) = 0,5 s s y + 0,5 sin y y.
Apoi, determinăm caracteristicile numerice ale unui sistem de variabile aleatoare (x, h). Folosind formulele (1.13.8), calculam așteptările matematice:
Și conform formulelor (1.13.9) - variații (deviații rădăcină medie-pătrată) și moment de corelare:
În sfârșit, conform (1.13.10), putem găsi coeficientul de corelație:
Un sistem de două variabile aleatorii
unde sumarea se extinde la toate valorile posibile ale indicilor i și j. În cazul unui număr finit de valori posibile, se construiește un tabel pentru distribuirea unui sistem de două variabile aleatorii