De exemplu, matricea 5 × 5 Hilbert are forma:
Matricea Hilbert poate fi privită ca obținută de la integrale:
matrice Hilbert este un exemplu standard matrici prost condiționate, ceea ce le face incomod pentru calcule folosind computațional nesustenabil. De exemplu, numărul de condiționalități relative la # x22C5; - Norma pentru matricea de mai sus este de 4,8 · 10 5.
Gilbert (1894) a introdus matricea Hilbert atunci când studiază următoarea întrebare: „Să presupunem că eu = - intervalul real, atunci este posibil pentru a căuta un P polinom nenul cu coeficienți întregi astfel încât integrala [a b.].
ar fi mai mică decât oricare număr dat ε> 0 „Pentru a răspunde la această întrebare, Gilbert a adus formula exactă pentru determinantul matricilor Hilbert și investigate asimptotice El a ajuns la concluzia că răspunsul este da, în cazul în care lungimea b - ?. o gamă mai mică de 4.
- Matricea Hilbert este o matrice simetrică pozitivă. Mai mult decât atât, matricea Hilbert este o matrice complet pozitivă.
- Matricea Hilbert este un exemplu de matrice Hankel.
- Determinantul matricelor Hilbert poate fi explicit exprimat ca un caz special al determinantului Cauchy. Determinantul matricei Hilbert n × n este egal cu
Gilbert deja observat faptul curios că determinantul matricei Hilbert este inversul unui întreg (a se vedea site-ul secvenței [> http :. ╱╱oeis.org╱A005249 A005249 în OEIS). Rezultă din egalitate
Folosind formula Stirling, putem stabili următorul rezultat asimptotic:
- Matricea inversă a matricei Hilbert poate fi exprimată în formă explicită în termeni de coeficienți binomiali:
unde n este ordinea matricei. Astfel, elementele matricei inverse # x2212; Sunt numere întregi.