a - axa semimajor;
b - semiaxis mic.
Teorema Lungimea focală și semiaxele elipselor sunt legate de relația:
Dovada: În cazul în care punctul M se află la intersecția unei elipse cu o axă verticală, r1 + r2 = 2
a2 = b2 + c2
Definiția. Forma elipsei este determinată de caracteristica, care este raportul dintre lungimea focală și axa mai mare și se numește excentricitatea.
pentru că cu Definiția. Cantitatea k = b / a se numește coeficientul de compresie al elipsei, iar cantitatea 1 - k = (a - b) / a se numește contracția elipsei. Coeficientul de compresie și excentricitate sunt legate de relația: k 2 = 1 - e 2. Dacă a = b (c = 0, e = 0, fuzionează), atunci elipsa devine un cerc. Dacă următoarea condiție este îndeplinită pentru un punct M (x1, y1): 
Pentru un punct arbitrar M (x, y) aparținând unei elipse se mențin următoarele relații:
r1 = a - ex, r2 = a + ex.
Dovada. Sa arătat mai sus că r1 + r2 = 2a. În plus, din considerente geometrice, putem scrie:
După împărțirea și reducerea acestor termeni:
În mod similar, demonstrăm că r2 = a + ex. Teorema este dovedită.
Cu o elipsă există două linii drepte, numite direcții directe. Ecuațiile lor sunt:
Teorema.Dlya la un punct care se află pe elipsei, este necesar și suficient ca raportul dintre distanța de la focalizarea la distanța corespunzătoare excentricitatea e egală cu directricea.
Un exemplu. Scrieți ecuația liniei drepte care trece prin focarul din stânga și vârful inferior al elipsei dat de ecuația:
Coordonatele vârfului de jos: x = 0; y2 = 16; y = -4.
Coordonatele focusului stâng sunt: c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 16 = 9; c = 3; F2 (-3; 0).
Ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte:
Un exemplu. Scrieți ecuația elipsei dacă focarele sale sunt F1 (0; 0); F2 (1; 1); axa principală este 2.
Ecuația elipsei are forma:
2c =, astfel, un 2 - b 2 = c 2 = ½
prin condiția 2a = 2, prin urmare a = 1, b =