Zona triunghiului este egală cu jumătate din produsul laturilor sale de unghiul dreptunghiului dintre ele.
Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC. Să presupunem că partea BC = a, partea CA = b și S este aria acestui triunghi. Este necesar să se demonstreze că S = (1/2) * a * b * sin (C).
În primul rând, introducem un sistem de coordonate dreptunghiular și plasăm originea coordonatelor în punctul C. Aranjăm sistemul nostru de coordonate astfel încât punctul B să se situeze pe direcția pozitivă a axei Cx, iar punctul A ar avea o ordonată pozitivă.
Dacă totul se face corect, trebuie obținută următoarea figură.
Zona acestui triunghi poate fi calculată prin următoarea formulă: S = (1/2) * a * h. unde h este înălțimea triunghiului. În cazul nostru, înălțimea triunghiului h este egală cu ordonata punctului A, adică h = b * sin (C).
Luând în considerare rezultatul obținut, formula de suprafață a unui triunghi poate fi rescrisă după cum urmează: S = (1/2) * a * b * sin (C). După cum este necesar pentru a dovedi.
Rezolvarea problemelor
Problema 1. Găsiți zona triunghiului ABC dacă a) AB = 6 * √8 cm, AC = 4 cm, unghiul A = 60 ° b) BC = 3 cm, AB = 18 * √2 cm, unghiul B = ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, unghiul C = 48 grade.
Prin teorema dovedită mai sus, zona S a triunghiului ABC este egală cu:
a) S = ((1/2) * 6 * √8 * 4 * sin (60˚)) = 12 * √6 cm ^ 2.
b) S = (1/2) * BC * BA * sin (B) = ((1/2) * 3 * 18 * √2 * (√2 / 2)) = 27 cm ^ 2.
c) S = (1/2) * CA * CB * sin (C) = 1 * 14 * 7 * sin48˚ cm ^ 2.
Valoarea sinusului unghiului este asumată pe calculator sau folosim valorile din tabelul valorilor unghiurilor trigonometrice. răspundă:
c) aproximativ 36,41 cm2.
Problema 2. Zona triunghiului ABC este de 60 cm ^ 2. Găsiți partea AB dacă AC = 15 cm, unghiul A = 30˚.
Fie S zona a triunghiului ABC. Prin teorema privind aria triunghiului avem:
Înlocuim în ea valorile pe care le avem:
60 = (1/2) * AB * 15 * sin30˚ = (1/2) * 15 * (1/2) * AB = (15/4) * AB.
Prin urmare, exprimăm lungimea laturii AB: AB = (60 * 4) / 15 = 16.