Exemplul 1. Algebra N = (N; +) nu este un grup, deoarece axiomele G2 și G3 nu sunt îndeplinite.
Exemplul 2. Algebra N = (N; s) nu este un grup, deoarece axiomul G3 este încălcat.
Exemplul 3. Dovedeste ca algebrele Z = (Z; +), Q = (Q; +), R = (R +), C = (C +) sunt aditivi grupuri abelian infinite.
Dovada. Să arătăm, de exemplu, că Z = (Z; +) este un grup abelian infinit adițional. De fapt, axiomele sunt satisfăcute:
În plus, mulțimea Z este infinită.
Ce trebuia să dovedească.
Exemplul 4. Dovada că algebrele Q * = (Q *; s), R * = (R *; s), C * = (C *; s) sunt grupuri infinite abelian multiplicative.
Dovada. Să demonstrăm, de exemplu, că algebra C * = (C *; s), unde C * = C \ este un grup infinit abelian multiplicativ. Pentru aceasta, verificăm îndeplinirea axiomelor G1-G4. Avem:
În plus, C * este un set infinit.
Ce trebuia să dovedească.
Rețineți că algebrele Q = (Q; s), R = (R, s), C = (C; s) nu sunt grupuri, deoarece G3 este încălcat (pentru 0 nu există element invers, seturi).
Exemplul 5. Algebra Z = (Z; s) nu este un grup, deoarece axiomul G3 nu este deținut.
Exemplul 6. Din proprietățile operațiilor asupra permutărilor Φn rezultă că algebra (n>; s) este un grup multiplicativ de ordine finită n. Acest grup se numește simetric și este notat cu S n.
Exemplele 7 - 12. Teoria transformărilor geometrice ale planului (vezi cursul geometriei) ne prezintă următoarele grupuri infinite de multiplicare: 7) D = (D; s) este grupul tuturor mișcărilor planului; 8) T = (T; s) este grupul tuturor traducerilor paralele ale planului; 9) Ro a = (Ro a; s) este grupul tuturor rotațiilor planului în jurul punctului O; 10) A = (A; s) este grupul de transformări afine ale planului; 11) Ð = (P; s) este grupul de transformări proiective ale planului; 12) F = (F; s) este grupul de simetrie al figurii geometrice.
Exemplul 13. Fie R [x] mulțimea tuturor polinomilor dintr-o variabilă x cu coeficienți în setul de numere reale R. Atunci vom arăta că algebra R [x] = (R [x]; +) este un grup abelian infinit adițional. De fapt, axiomele sunt satisfăcute:
În plus, setul R [x] este infinit.
Ce trebuia să dovedească.
Exemplul 14. Ordine finite triviale de ordine 1 Grupuri abeliane: 0 = (+) - aditiv, Å = (; ×) este una multiplicatoare.
Exemplul 15. Este ușor de verificat dacă algebra G = (; s) este un grup abelian multiplicativ de ordinul 2.
Exemplul 16. Arătați că setul tuturor rădăcinilor n-a de 1 în ceea ce privește multiplicarea formează un grup abelian.
Dovada. Amintiți-vă că valorile
se numesc rădăcini ale puterii n-a 1. La planul complex, rădăcinile puterii n-a ale lui 1 sunt reprezentate de vârfurile unui regulat n-gon înscris într-un cerc de rază a unității.
Să verificăm îndeplinirea axiomelor G1, G2 ¢. a doua definiție a grupului:
G2 ¢. În setul de rădăcini al puterii n-a de 1, se efectuează o operațiune de divizare. De fapt, dacă em și es sunt rădăcini ale puterii n-a de 1, atunci. adică, coeficientul este n-a rădăcină a 1. Comutativitatea multiplicării numerelor complexe presupune comutativitatea multiplicării rădăcinilor n de la 1: em es = es em.
Astfel, algebra (; ×) este un grup abelian multiplicativ de ordin finit n.
Ce trebuia să dovedească.
Exemplul 17. Deoarece adăugarea matricelor pătrate de ordinul n are următoarele proprietăți:
Exemplul 18. Dovada că setul Z formează un grup în ceea ce privește acțiunea dată de formula:
a * b = a - b dacă a este un număr impar, b este orice număr întreg>. Dovada. 1. Acțiunea luată în considerare la Z reduce la adăugarea sau scăderea numerelor întregi și deoarece atît adăugarea, cît și scăderea elementelor de la Z conduc la un element de Z, atunci acțiunea asupra lui Z este o operație binară. G1. Să analizăm cazurile posibile: c) Dacă a este un număr impar, b este un număr par și c este orice număr în Z, atunci a - b este ciudat și prin urmare (a * b) * c = (a - b) - c. a * (b * c) = Astfel, în toate cazurile posibile, operația binară * pe Z este asociativă. G2. Deoarece 0 este un număr par, 0 * a = 0 + a = a. În plus, dacă a este egal, atunci a * 0 = a + 0 = a; Dacă a este ciudat, atunci a * 0 = a = 0 = a. Astfel, în toate cazurile, 0 * a = a * 0 = a. adică 0 este un element neutru în Z cu privire la o operație binară dată *. G3. Pentru orice element a ÎZ în Z există un element s (a) simetric față de el: pentru un element a uniform, elementul simetric este numărul opus -a. deoarece a * (- a) = a + (-a) = 0; pentru un element ciudat, elementul simetric este numărul a însăși. deoarece Astfel, axiomele G1-G3 sunt satisfăcute și, prin urmare, algebra Z = (Z; *) Spre deosebire de grupul (Z; +), acest grup nu este abelian, deoarece axiomul suplimentar G4 nu este satisfăcut. De fapt, de exemplu, 4 * 5 = 4 + 5 = 9, 5 * 4 = 5 - 4 = 1, adică 4 * 5 * 5 * 4. Ce trebuia să dovedească. Exemplul 19. Dovedeste ca algebra Zm = (Zm; +), unde Zm =<> - setul de clase de reziduuri modulo m, este un grup abelian adițional de ordin m. Dovada. Reamintim că adăugarea oricăror două clase de reziduuri u, i. j = 0, 1, 2, ..., m - 1, este definit după cum urmează: Este ușor să se demonstreze că suma clasei de reziduuri determinată în acest fel nu depinde de alegerea reprezentanților individuali ai clasei utilizate pentru compilarea sumei. Să verificăm pentru Zm valabilitatea condițiilor care definesc un grup abelian adițional. Într-adevăr, prin definiție, suma clasei de reziduuri și modulo m este singura clasă complet definită de reziduuri din același modul (acțiunea adăugării este închisă). (asociativitatea funcționării adăugării). (existența unui element zero). (existența pentru fiecare element opus acestuia). Menționăm că atunci când am verificat valabilitatea condițiilor de mai sus pentru clasele de reziduuri, am utilizat în mod esențial valabilitatea acelorași condiții pentru setul de numere întregi. Ce trebuia să dovedească.Articole similare