Radicalul Jacobson

Noi dovedim mai întâi că idealul

$Radicalul Jacobson$

a unui inel semisimplu

$Radicalul Jacobson$

semisimplu. lăsa

$Radicalul Jacobson$

, atunci

$Radicalul Jacobson$

Este idealul stâng al inelului

$Radicalul Jacobson$

. Observăm asta

$Radicalul Jacobson$

, altfel

$Radicalul Jacobson$

, care este

$Radicalul Jacobson$

Este un ideal nilpotent stâng

$Radicalul Jacobson$

și de Corolarul 1

$Radicalul Jacobson$

. Din același motiv

$Radicalul Jacobson$

. dar

$Radicalul Jacobson$

. Astfel, idealul stâng

$Radicalul Jacobson$

în

$Radicalul Jacobson$

conține elemente quasiregulare, prin urmare, în virtutea semisimplicității

$Radicalul Jacobson$

- o contradicție cu faptul că

$Radicalul Jacobson$

.

ideal

$Radicalul Jacobson$

de Teorema 3 constă din elemente stânga-quasiregulare, adică pentru orice

$Radicalul Jacobson$

există

$Radicalul Jacobson$

astfel încât

$Radicalul Jacobson$

. deoarece

$Radicalul Jacobson$

și

$Radicalul Jacobson$

,

$Radicalul Jacobson$

. Prin urmare,

$Radicalul Jacobson$

stânga-cvasi-regulat în

$Radicalul Jacobson$

, de unde

$Radicalul Jacobson$

.

În schimb, din moment ce

$Radicalul Jacobson$

Este un ideal bidirecțional, apoi proiecția canonică

$Radicalul Jacobson$

este un homomorfism inelar. Imaginea idealului

$Radicalul Jacobson$

,

$Radicalul Jacobson$

Este un ideal în

$Radicalul Jacobson$

. De la faptul că

$Radicalul Jacobson$

este semisimplată (conform părții 1 din Teorema 7) rezultă că

$Radicalul Jacobson$

semisimply. atunci

$Radicalul Jacobson$

, care este

$Radicalul Jacobson$

.

$Radicalul Jacobson$

Teorema 7. Regula

$Radicalul Jacobson$

, ciclu asociativ

$Radicalul Jacobson$

radicalul său Jacobson

$Radicalul Jacobson$

, este un radical (în sensul lui Kurosh). care este îndeplinită:

$Radicalul Jacobson$

$Radicalul Jacobson$

pentru orice homomorfism al inelelor asociative

$Radicalul Jacobson$

includerea

$Radicalul Jacobson$

1. Egalitatea

$Radicalul Jacobson$

rezultă din Propoziția 2, dacă le punem

$Radicalul Jacobson$

.

2. Proiecția canonică

$Radicalul Jacobson$

la fiecare ideal maxim stânga obișnuit

$Radicalul Jacobson$

asociază un ideal maxim stâng

$Radicalul Jacobson$

, ca

$Radicalul Jacobson$

. ideal

$Radicalul Jacobson$

De asemenea, este regulat, din moment ce relația

$Radicalul Jacobson$

conduce

$Radicalul Jacobson$

. Prin Teoremă 2, radicalul Jacobson este intersecția tuturor idealurilor stângi maxime regulate în

$Radicalul Jacobson$

:

$Radicalul Jacobson$

, dar apoi

$Radicalul Jacobson$

- intersecția unor idealuri maxime stângi regulate ale inelului

$Radicalul Jacobson$

, și, prin urmare, conține radicalul Jacobson al acestui inel. de unde

$Radicalul Jacobson$

.

3. Putem presupune asta

$Radicalul Jacobson$

Este un epimorfism. lăsa

$Radicalul Jacobson$

- intersecția idealurilor maxime stângi regulate în

$Radicalul Jacobson$

. Imaginea inversă

$Radicalul Jacobson$

Este idealul maxim maxim obișnuit. În acest fel

$Radicalul Jacobson$

, ceea ce înseamnă,

$Radicalul Jacobson$

.

$Radicalul Jacobson$

Exemplul 1.

$Radicalul Jacobson$

. Într-adevăr, în ringul de întregi

$Radicalul Jacobson$

fiecare ideal este regulat. Toate idealurile maximale au forma

$Radicalul Jacobson$

, unde

$Radicalul Jacobson$

Este un număr prime. prin urmare,

$Radicalul Jacobson$

.

Uite, de asemenea

literatură

Andrunakievich VA Ryabukhin Yu.M. "Radicalii algebrelor și teoria structurală", Nauka, 1979.

I. Herstein. "Inele non-comutative", Mir, 1972.

1) a părăsit radicalul Jacobson

6) vezi partea 1 a dovezii teoremei 2

7) drept Jacobson radical

Pagina anterioară

Pagina următoare