Valoare proprie și vectori proprii

Rezolvarea ultimei ecuații pentru

, găsim valorile proprii ale matricei. Ecuația (5.8) se numește ecuația caracteristică a matricei

. După ce am găsit rădăcinile ecuației caracteristice, înlocuindu-le succesiv în sistemul (1) și rezolvând sistemele rezultate, găsim vectorii proprii ai matricei

, fiecare dintre acestea corespund unei anumite valori proprii.

Considerăm câteva exemple, în fiecare dintre acestea realizându-ne o secvență de acțiuni pentru rezolvarea problemei de identificare a valorilor proprii și vectorilor proprii ai matricei.

Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai matricei

. Dați o interpretare geometrică a soluției obținute.

Matricea are dimensiunea 2

2, adică este o reprezentare a unui operator liniar în spațiu

. Căutăm vectorul propriu al matricei sub forma:

Formăm ecuația pentru găsirea vectorilor proprii sub formă de matrice:

3. Rescriem ecuația matricei sub forma unui sistem de ecuații:

Un sistem omogen are soluții nonzero dacă și numai dacă determinantul matricei sale principale este 0. Obținem ecuația caracteristică a sistemului și îl rezolvăm:

Valorile proprii ale matricei

Să găsim vectorii proprii pentru fiecare valoare proprie:

;

lăsa

, apoi direcția corectă a matricei

, corespunzătoare valorii proprii

, este dat de un set de vectori:

;

lăsa

, apoi direcția corectă a matricei

, corespunzătoare valorii proprii

, este dat de un set de vectori:

Exemplul 2. Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai unui operator liniar. dat într-o anumită bază de matricea A =

Formăm și rezolvăm ecuația caracteristică

Apoi ecuația caracteristică ia forma:

- valorile proprii ale unui operator liniar.

Să găsim vectorii proprii care corespund valorii proprii

, rezolvarea ecuației matricei:

Presupunând în ultima egalitate

, avem

De unde vectorii proprii corespund valorii proprii

, au forma 1 =

Să găsim vectorii proprii care corespund valorii proprii

, rezolvarea ecuației matricei:

Presupunând în ultima egalitate

, avem

De unde vectorii proprii corespund valorii proprii

, au forma 2 =

Răspuns. Valoare proprie

corespund vectorilor proprii 1 =

, ci la propria valoare

vectorii proprii

Exemplul 3. Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai unui operator liniar. dat într-o anumită bază de matricea A =

Să găsim valorile proprii ale unui operator liniar. Pentru a face acest lucru, formulam ecuația caracteristică și găsim rădăcinile ei:

, ,

, - valorile proprii ale unui operator liniar.

Să găsim vectorii proprii care corespund valorii proprii

. Continuând de la relație

x = 0 sau în cazul nostru

Rezolvarea prin metoda Gaussian, obținem

Deoarece rangul matricei sistemului (r = 2) este mai mic decât numărul de necunoscute, sistemul are un set infinit de soluții. Scriind sistemul transformat și rezolvându-l,