Se obține ecuația unui plan de înmulțire val într-o direcție care formează cu oscilațiile axele de coordonate x, y, z unghiurile a, β, γ Să în planul care trece prin origine, sunt de forma.
Luăm o suprafață de undă (un plan) separată de origine cu o distanță l. Oscilațiile din acest plan vor rămâne în urma oscilațiilor la punctul 0 (figura 8.3) pentru o perioadă de timp, apoi ecuația valurilor
Exprimăm distanța l în termenii vectorului de rază al punctelor din suprafața examinată. Pentru aceasta, introducem vectorul unității normale pe suprafața undei. Produs scalar
Înlocuiți valoarea lui l în ecuația (8.4) și puneți-o în paranteze
Raportul este egal cu numărul de valuri k. Un vector egal în valoare absolută cu numărul de undă și având o direcție de-a lungul valorii normale la suprafața undei este numit vectorul de undă. Introducerea vectorului. avem
Pentru a trece de la vectorul de rază al punctului la coordonatele sale x, y, z. exprimăm produsul scalar în ceea ce privește proiecțiile vectorilor pe axele de coordonate:
Apoi ecuația unui val de avion ia forma:
Locul geometric al punctelor oscilante într-o singură fază se numește suprafața undei. Suprafața undei care separă o parte a spațiului în care au loc oscilații, din partea în care nu există oscilație, se numește frontul undei. Este partea din față a valului care se mișcă cu o viteză egală cu viteza de fază a valului. În cazul unui val sinusoidal unidimensional, ecuația suprafeței undei are următoarea formă:
În acest moment, numai un punct al axei OX satisface această condiție, a cărei coordonate x este egală cu:
Diferitele valori ale fazei de undă φ corespund diferitelor suprafețe de undă, fiecare dintre ele degenerând într-un punct în valuri unidimensionale. Se poate vedea din ultima formulă că suprafețele undei se deplasează cu timpul în mediu cu o viteză egală cu, adică viteza de fază, care este
Astfel, pentru un val sinusoidal, viteza de propagare a suprafeței unei faze constante coincide cu viteza de propagare a undelor.
Fixăm o valoare a fazei în ecuația (2.2), stabilind-o constantă pentru un anumit punct
Această expresie dă o relație între timpul t și coordonata x, în care valoarea fazei fixe este realizată la un moment dat. După ce a stabilit. găsim viteza la care se deplasează valoarea fazei date. Diferențiând această relație, obținem
Astfel, viteza de propagare a valului V în ecuația (2.2) este viteza de deplasare a fazei, în legătură cu care se numește viteza de fază.
Vom construi o ecuație care ne va permite să găsim în orice moment deplasarea oricărui punct al undei. Să existe o sursă de oscilații la punctul B din figura 8.2. Valurile cu viteza v se propagă din sursa de oscilație de-a lungul liniei drepte.
Ecuația de oscilații din punctul B este dată în forma:
Toate punctele din dreapta lui B, de exemplu punctul C, repetă oscilațiile punctului B cu o anumită întârziere. Să scriem ecuația oscilațiilor punctului C. Dacă punctul B oscilează în timpul t, atunci oscilațiile vor ajunge în punctul C după ce timpul va trece. prin urmare, timpul de oscilație al punctului C va fi mai mic decât t și va fi. Apoi se scrie ecuația oscilațiilor punctului C:
Distanța de la punctul B la punctul C, egală cu x, valul se deplasează la o viteză. de unde. Luând în considerare ecuația valurilor va arata astfel:
Dacă în orice loc al mediului elastic (solid, lichid sau gazos) vibrează particulele sale, atunci datorită interacțiunii dintre particule această oscilație se va propaga în mediu la o anumită viteză v. Procesul de propagare a oscilațiilor se numește val. Particulele mediului în care se propagă valul nu sunt transportate de un val, ci oscilează doar în apropierea pozițiilor lor de echilibru. În funcție de direcția oscilației particulelor în raport cu direcția în care se propagă undele, se disting undele longitudinale și transversale. Într-un val longitudinal, particulele mediului oscilează de-a lungul direcției de propagare a undelor. Într-un val transversal, particulele mediului oscilează în direcții perpendiculare pe direcția de propagare a undelor. Undele transversale mecanice pot apărea numai într-un mediu cu rezistență la forfecare. Prin urmare, numai valurile longitudinale pot apărea în medii lichide și gazoase. Într-un mediu solid, pot apărea atât valuri longitudinale cât și transversale. În valurile longitudinale, datorită coincidenței direcțiilor oscilațiilor particulelor și valurilor, apar condensări și rarefaceri.
Propagarea valurilor într-un mediu elastic.
Figura 8.1 prezintă mișcarea particulelor atunci când se propagă într-un mediu cu un val transversal. Numere 1,2,3, etc. particulele separate unul de celălalt la o distanță egală cu. și anume la o distanță traversată de un val pentru un sfert de perioadă de oscilații, efectuată de particule. În momentul inițial de timp (t = 0), toate punctele sunt situate pe o linie dreaptă și nici una dintre ele nu părăsește poziția de echilibru. Să aducem punctul 1 într-o oscilație armonică cu perioada T, orientată perpendicular pe linia 1-5. Deoarece particulele mediului sunt interconectate prin forțe elastice, ele oscilează, dar cu o anumită întârziere. După un sfert din perioadă, punctul 1 deviază de la linia de echilibru prin deplasarea maximă. Oscilația a început toate punctele situate în partea stângă a punctului 2. Dupa ce timpul scade, punctul 2 se va ridica, de asemenea, la. primul punct va reveni la poziția de echilibru, al doilea punct atinge deformarea maximă și oscilații ajunge la punctul 3. Punctul 1 atinge punctul maxim de polarizare negativa 2 va reveni la poziția sa de echilibru și vibrații ajunge la punctul 4. În cele din urmă, în perioada egală cu perioada t = T , punctul 1 va reveni la poziția de echilibru, efectuând un leagăn complet. Oscilațiile s-au extins la punctul 5, toate punctele oscilante formează un val. Cu oscilații suplimentare ale punctelor, procesul valurilor se extinde spre dreapta punctului 5. În cazul considerat de formare a undelor transversale, fiecare particulă se mișcă doar în sus și în jos. Observatorul, totuși, are impresia că "valul se execută", deși în realitate se produce numai transferul de mișcare dintr-un punct al mediului în altul.
În momentul de timp egal cu perioada (t = T), punctele 1 și 5, care se află în poziția de echilibru, au aceeași deplasare și aceeași direcție de mișcare (în sus). Prin urmare, se spune că punctele I și S au aceleași faze. În schimb, punctele 1 și 3, deși deplasările sunt identice, se mișcă în direcții opuse, deci spun că punctele 1 și 3 sunt în faze opuse. Distanțele dintre punctele 1 și 5 determină lungimea de undă λ, adică lungimea de undă λ este numită distanța dintre cele mai apropiate puncte ale undei, oscilând în aceleași faze. Perioada valului T este timpul unei vibrații complete a punctelor sale. Inversa unei perioade se numește frecvența valului. Viteza unui val este determinată de viteza de propagare a oscilațiilor de la un punct al mediei la altul:
Viteza propagării valurilor este mai mică decât mediul inert, adică cu cât densitatea este mai mare. Pe de altă parte, are o importanță mai mare într-un mediu mai elastic decât într-un mediu mai puțin elastic. Viteza undelor longitudinale este determinată de formula: și transversală:
unde ρ este densitatea mediei, E este modulul lui Young și G este modulul de forfecare. Deoarece pentru cele mai multe solide E> G, viteza undelor longitudinale este mai mare decât viteza undelor transversale.