Def. Comutatorul a doi operatori este operatorul.
În general, produsul operatorilor nu este comutativ; .
Def. Operatorii pentru care condiția este îndeplinită se numesc naveta.
Exemplul 1. Calculăm. Pentru aceasta, luăm în considerare acțiunea comutatorului pe o funcție arbitrară Y., adică = 0, acești operatori se deplasează între ei.
Exemplul 2. Calculăm.
,și anume , operatorii nu se deplasează între ei.
Fie ca o stare a unui sistem cuantic să fie descrisă de funcția de undă Y. În această stare cuantică, măsuram două cantități fizice A și B. Aceste cantități corespund operatorilor. Cantitățile fizice pot fi măsurate simultan dacă funcția Y este o funcție proprie a ambilor operatori, adică următoarele condiții sunt valabile:
Acționăm pe ambele părți ale (1) operatorului și pe (2) de operator:
Rezultă din (3) și (4) că. Ie dacă două cantități fizice sunt măsurabile simultan, atunci operatorii lor se deplasează. Reversul este de asemenea adevărat: dacă doi operatori se deplasează, atunci cantitățile fizice A și B sunt măsurabile simultan. După cum se poate observa din exemplele 1 și 2, coordonata y și componenta impulsului px pot fi simultan măsurabile cu precizie, iar coordonata x și componenta impulsului px nu pot fi măsurate cu precizie simultan.
Proprietatea de comutativitate nu este tranzitivă. Dacă se comută cu u, atunci aceasta nu înseamnă că se deplasează unul cu celălalt.
În mecanica cuantică, se folosește conceptul unui set complet de cantități fizice, care pentru un anumit sistem poate avea valori definite simultan. De exemplu, pentru o particulă în mișcare liberă, acesta este impulsul și energia. Evident, setul complet nu poate include momenta și coordonatele particulelor, deoarece acestea nu au o valoare definită în același timp. Pentru a specifica starea unui sistem cuantic, este suficient să specificați doar coordonatele particulelor sau doar impulsurile sau, în general, orice set de cantități care sunt măsurate simultan. Numărul acestor cantități trebuie să fie egal cu numărul de grade de libertate ale sistemului.
Setarea setului complet determină în mod unic funcția de undă a sistemului. Seturile complete pentru diferite stări sunt diferite. În cazul particular, setul complet poate consta doar dintr-o singură variabilă. În această stare, toate variabilele, cu excepția celor care formează setul complet, vor fi nedefinite. Ca un set complet, care determină în mod unic funcția de undă a sistemului, se folosesc și numere cuantice care sunt păstrate în procesul de mișcare. De exemplu, starea unui electron într-un atom este determinată de patru numere cuantice care corespund celor patru grade de libertate ale unui electron. Aceste 4 grade de libertate sunt asociate cu trei coordonate spațiale și spin. Pentru atomii de hidrogen, 4 numere cuantice care formează setul complet: n este numărul cuantic principal, l este numărul cuantic al orbitalului, m este numărul cuantic magnetic, sz este numărul cuantic al spinului.
13. Ecuația lui Schrodinger. Principiul cauzalității. Starea staționară.
Ecuația lui Schrodinger este legată de ipoteza de Broglie. Conform presupunerii lui de Broglie, o particulă liberă cu energie E și impuls p. se deplasează de-a lungul axei x. corespunde unui val de avion
Diferențăm (1) în funcție de timp:
Diferențiezăm (1) de două ori în raport cu coordonata x: și luăm în considerare faptul că particula liberă are energie, luând în considerare (2):
În cazul general al mișcării libere a unei particule în spațiu:
, Ecuația (3) va avea forma:
în cazul în care. Apoi, Schrodinger a sugerat că, dacă particula se deplasează într-un câmp potențial, atunci ecuația (4) ar trebui modificată după cum urmează:
Ecuația (5) poate fi numită ecuația de mișcare a unei particule cuantice, este ecuația de bază a mecanicii cuantice nonrelativiste. În mecanica cuantică, ecuația lui Schrödinger joacă același rol ca și ecuația lui Newton în mecanica clasică. Pentru a stabili legea mișcării unei particule în mecanica cuantică înseamnă a determina valoarea funcției de undă Y în orice moment t.
Pentru a găsi valoarea unică a funcției Y, în plus față de ecuația (5), este necesar să se determine condițiile inițiale. Condițiile inițiale determină valoarea funcției de undă pentru t = 0. În plus, funcția de undă trebuie să satisfacă condiția de normalizare.
În mecanica cuantică, comportamentul microparticulelor este determinat de legile tipului statistic, iar principiul cauzalității pentru microparticule este formulat după cum urmează.
Fie starea particulei cunoscută în momentul inițial al timpului t = 0, adică valoarea funcției de stare este cunoscută. Apoi, rezolvând ecuația Schrodinger (5) se poate determina în mod unic funcția de undă în momente ulterioare.
Rezultă din sensul funcției de undă că este posibil să se prezică probabilitatea ca cantitățile fizice care caracterizează particula să aibă o anumită valoare în orice moment t> 0. Principiul cauzalității formulat în acest fel în mecanica cuantică are un caracter mai general decât determinismul Laplacian în mecanica clasică.
Dacă nu există câmpuri externe alternante care acționează asupra particulei, adică , atunci U are semnificația energiei potențiale și hamiltonianul coincide cu operatorul total de energie. În acest caz, funcția de undă poate fi reprezentată ca produs al a două funcții, dintre care una depinde numai de coordonate, iar cealaltă numai în timp:
Substituind (6) în (5), obținem, divizăm această ecuație prin fy:
Partea stângă a ecuației (7) depinde numai de timp, de partea dreaptă numai pe coordonate. Acest lucru este posibil numai în cazul în care ambele părți ale ecuației sunt egale cu aceeași valoare constantă.
(9) se numește ecuația staționară Schrödinger. Soluția ecuației (8) are forma:
Apoi soluția generală a ecuației (5) în conformitate cu reprezentarea (6) va avea forma:
Rezultă că densitatea de probabilitate a detectării unei particule în diferite puncte ale spațiului este egală, adică nu depinde de timp. Prin urmare, stările care sunt descrise de funcțiile formei (11) sunt numite stări staționare.