La calcularea polinomilor algebrici, se folosesc formulele de multiplicare redusă pentru a simplifica calculele. Există șapte astfel de formule. Toți trebuie să știe de la inimă.
De asemenea, trebuie amintit că în loc de "a" și "b" formulele pot conține atât cifre cât și orice alte polinoame algebrice.
Diferența de pătrate
Diferența dintre pătratele a două numere este egală cu produsul diferenței dintre aceste numere și suma lor.
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
- 15 2 - 2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13; 17 = 221
- 9a 2 - 4b 2 cu 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)
Pătratul sumei
Pătratul cu suma a două numere este egal cu pătratul primului număr plus produsul dublat al primului număr cu cel de-al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Rețineți că utilizând această formulă de înmulțire rapidă este ușor să găsiți pătrate cu numere mari. fără a utiliza un calculator sau o multiplicare într-o coloană. Să ne explicăm cu un exemplu:
- Descompunem 112 într-o sumă de numere ale căror pătrate ne amintim bine.
112 = 100 + 1 - Scrieți suma numerelor în paranteze și puneți un pătrat deasupra parantezelor.
112 2 = (100 + 12) 2 - Utilizăm formula pentru pătratul sumei:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Rețineți că formula cu sumă pătrată este valabilă și pentru orice polinoame algebrice.
Atenție!
(a + b) 2 nu este egal cu (a 2 + b 2)
Pătratul diferenței
Pătratul diferenței de două numere este egal cu pătratul primului număr minus produsul dublat al primului cu al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
De asemenea, merită să ne amintim o transformare foarte utilă:
(a - b) 2 = (b - a) 2
Formula de mai sus este demonstrată prin simpla deschidere a parantezelor:
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2
Cubul dintre suma a două numere este egal cu cubul primului număr plus produsul triplut al pătratului primului număr cu cel de-al doilea plus produsul triplut al primului cu pătratul celui de-al doilea plus cubul celui de-al doilea.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
Cum să vă amintiți un cub de o sumă
Amintiți-vă că această formă de "teribil" este destul de simplă.
- Aflați că la început este "a 3".
- Două polinoame în mijloc au coeficienți 3.
- Amintiți-vă că orice număr în puterea zero este 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Este ușor de observat că în formula există o scădere a gradului de "a" și o creștere a gradului de "b". Acest lucru poate fi văzut:
(A + b) 3 = a 3 b 0 + 2 + 3a 3a 1 b 1 b 2 + b 3 = o 0 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Atenție!
(a + b) 3 nu este egal cu 3 + b 3
Diferența cubului
Cub de diferența dintre două numere este egală cu cubul primului număr minus de trei ori produsul pătrat al primului număr la al doilea, plus de trei ori produsul din primul număr minus pătrat al doilea al doilea cub.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Această formulă este amintită ca cea anterioară, dar numai luând în considerare alternanța semnelor "+" și "-". Înainte ca primul membru al "a 3" să stea "+" (conform regulilor matematice nu îl scriem). Deci, înainte ca următorul membru să fie "-", apoi "+", etc.
(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Sumă de cuburi
Nu confunda cubul cu suma!
Suma de cuburi este egală cu produsul dintre suma a două numere de către pătratul incomplet al diferenței.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2-ab + b 2)
Suma cuburilor este produsul a două paranteze.
- Prima consola este suma a două numere.
- Al doilea bracket este o pătrată incompletă a diferenței de numere. Un pătrat incomplet al diferenței este expresia:
(a2-ab + b2)
Acest pătrat este incomplet, deoarece în mijloc, în loc de produs dublat, produsul obișnuit al numerelor.
Diferența dintre cuburi
Să nu fiți confundați cu diferența de cub!
Diferența de cuburi este egală cu produsul diferenței de două numere de către pătratul incomplet al sumei.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Aveți grijă atunci când scrieți caractere.
Aplicarea formulelor de multiplicare prescurtată
Trebuie amintit faptul că toate formulele de mai sus sunt de asemenea folosite din dreapta în stânga.
Multe exemple din manuale sunt concepute pentru faptul că veți folosi formulele pentru a colecta polinomul înapoi.
- a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
- (ac - 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 - 16b 2
Un tabel cu toate formulele de multiplicare prescurtată poate fi descărcat în secțiunea "Cheat sheets".