Focus (în matematică)
Secțiuni conice: cerc. elipsă. parabola (planul secțiunii este paralelă cu generatorul conului), hiperbola.
O secțiune conică sau un conic este intersecția unui plan cu un con circular. Există trei tipuri principale de secțiuni conice: o elipsă. parabola și hiperbola. În plus, există secțiuni degenerate: un punct. Straight și o pereche de linii drepte. Un cerc poate fi considerat un caz special de elipsă.
Secțiunile conice pot fi obținute ca intersecția unui plan cu un con cu două laturi
θ este unghiul dintre generatorul conului și axa sa.
Dacă planul trece prin origine. atunci obținem o secțiune degenerată. În cazul nondegenerat,
- Dacă planul secant intersectează toate generatoarele de con în punctele uneia din cavitățile sale, obținem o elipsă,
- Dacă planul secant este paralel cu una dintre planurile tangente ale conului, obținem o parabolă u
- Dacă planul secant intersectează ambele cavități ale conului, obținem o hiperbolă.
Ecuația unui pătrat con circular, în consecință, toate secțiunile conice sunt Quadrics. și toate planul Quadric sunt secțiuni conice (deși două linii paralele forma cuadric˘a degenerate, care nu pot fi obținute ca secțiunea conică, dar încă în general, considerate a fi „degenerate conica“).
excentricitate
Elipsa (e = 1/2). parabola (e = 1) și hiperbola (e = 2) cu focalizare fixă F și directrix.
Toate secțiunile conice non-degenerate, cu excepția cercului. pot fi descrise în felul următor:
Alegem un punct F pe plan și o linie dreaptă d și definim un număr real e> 0. Apoi locusul punctelor. pentru care distanța până la punctul F și până la linia d diferă cu un factor de e, este o secțiune conică. Punctul F se numește focalizarea secțiunii conice, iar linia d este direcția directă. numărul e este excentricitatea.
În funcție de excentricitate, veți obține:
Pentru un cerc, presupunem că e = 0 (deși în mod oficial pentru e = 0. GMT numai dă punctul F).
- Prin intermediul a cinci puncte pe plan, dintre care trei nu se află pe o linie, puteți desena o singură secțiune conică.
Grupuri de transformare
- Excentricitatea a două secțiuni conice nondegenerate coincide dacă și numai dacă acestea pot fi traduse una în alta printr-o transformare a similitudinii.
- Transformările afinice păstrează numai semnul excentricității, adică din punct de vedere al geometriei afine, există doar trei secțiuni conice non-degenerate diferite: o elipsă, o parabolă și o hiperbolă.
- Toate secțiunile conice nondegenerate sunt indistinguizabile în geometria proiectivă.
Coordonarea reprezentării
Carteziene coordonate
determină tipul secțiunii conice.
- Dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci aceasta este o elipsă. punct sau set gol.
- Dacă discriminantul este zero, atunci acesta este o parabolă. O linie dreaptă sau o pereche de linii drepte paralele.
- Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci acesta este o hiperbola sau o pereche de linii intersectate
Polar coordonate
În coordonate polare (ρ, θ). centrat în una dintre focare cu o direcție zero de-a lungul axei principale, secțiunea conică este reprezentată de ecuație
unde e denotă excentricitatea și l este o constantă.
Secțiunile conice erau cunoscute de matematicienii din Grecia antică. Cea mai completă compoziție dedicată acestor curbe a fost "secțiunea conică" a lui Apollonius din Perga (aproximativ 200 î.Hr.).
În mecanica clasică, traiectoria mișcării libere a obiectelor sferice într-un vid este supus uneia dintre aplicațiile, legea pătratul - legea gravitației universale. și, prin urmare, este una dintre curba conice - o parabolă, hiperbolă, o elipsă sau o linie dreaptă. orbitelor planetare - elipse traiectorie comete - hiperbolă (a se vedea, de asemenea, astrelor.) Traiectul de zbor cu o ghiulea, impact mai puțin aer - (. De asemenea, a se vedea balistic) parabole.
literatură
Urmăriți ce este "Focus (în matematică)" în alte dicționare:
Focus (matematică) - Focus în matematică, 1), F. a doua curbă comandă (elipsa, hiperbola, parabolică) √ punctul F, situată în planul curbei și are proprietatea că raportul dintre distanța până la orice punct al curbei F la distanta de la directricea este de ... ... Marea enciclopedie sovietică
FOCUS - (focalizare latină focus, locul în care focul este crescut). 1) punctul de pe axa ochelarilor optici, în care se intersectează toate razele care intră pe aceste ochelări. 2) în matematică: două puncte de elipsă care se află pe axa principală. 3) un fel de fenomen, bazat pe ... Dicționar de cuvinte străine de limbă rusă
focus - 1) În optică: punctul în care un fascicul paralel de raze de lumină trece prin sistemul optic; 2) punctul în care obiectul fotografiat cu un instrument optic are cea mai bună claritate; 3) miere. căldură ... ... Dicționarul istoric și etimologic al împrumuturilor latine
Focus - I Focus (de la Hokuspokus) 1) o serie de acțiuni (cu subiecte diferite, oameni); un truc bazat pe o înșelăciune de vedere, cu ajutorul unor trucuri rapide, dexteroase, unelte auxiliare etc. 2) într-un sens figurat - un truc inteligent, un truc, un truc ... Marea Enciclopedie Sovietică
Focus - I m. 1. Punctul de intersecție al razelor refractate sau reflectate care au loc pe sistemul optic printr-un fascicul paralel. Ott. Distanța de la sistemul de refracție sau de reflexie până la acest punct. 2. Punctul în care obiectul fotografiat primește o distincție ... ... Dicționarul explicativ modern al limbii ruse de Efremova
Focus - I m. 1. Punctul de intersecție al razelor refractate sau reflectate care au loc pe sistemul optic printr-un fascicul paralel. Ott. Distanța de la sistemul de refracție sau de reflexie până la acest punct. 2. Punctul în care obiectul fotografiat primește o distincție ... ... Dicționarul explicativ modern al limbii ruse de Efremova
Focus - I m. 1. Punctul de intersecție al razelor refractate sau reflectate care au loc pe sistemul optic printr-un fascicul paralel. Ott. Distanța de la sistemul de refracție sau de reflexie până la acest punct. 2. Punctul în care obiectul fotografiat primește o distincție ... ... Dicționarul explicativ modern al limbii ruse de Efremova
Focus - I m. 1. Punctul de intersecție a razelor refractate sau reflectate care se află în sistemul optic printr-un fascicul paralel. Ott. Distanța de la sistemul de refracție sau de reflexie până la acest punct. 2. Punctul în care obiectul fotografiat primește o distincție ... ... Dicționarul explicativ modern al limbii ruse de Efremova
Focus - I m. 1. Punctul de intersecție a razelor refractate sau reflectate care au loc pe sistemul optic printr-un fascicul paralel. Ott. Distanța de la sistemul de refracție sau de reflexie până la acest punct. 2. Punctul în care obiectul fotografiat primește o distincție ... ... Dicționarul explicativ modern al limbii ruse de Efremova