Formula (1) poate fi aplicată și în cazul în care curba delimitând un trapez curbilinar este dată de ecuațiile parametrice
Efectuând schimbarea variabilei în integrale (1) (presupunând că pentru și cu), vom obține
Dacă o figura plană este mărginită de o curbă netedă, închisă pe o bucată, dată de ecuațiile parametrice. iar atunci când limita este rulată în sens contrar acelor de ceasornic, aria cifrei este calculată prin una dintre formule:
Exemplul 7. Calculați suprafața unei figuri delimitată de o elipsă
Prima cale. Luând în considerare simetria elipsei în raport cu axele de coordonate în conformitate cu formula (1), scriem
Calculați independent întregul cu ajutorul unui înlocuitor (ca în exemplul 5).
A doua cale. Se scriu ecuațiile parametrice ale elipsei:
Limita inferioară a integrării corespunde valorii parametrului. în cazul în care. atunci. Prin formula (4) găsim
A treia cale. Când modificați parametrul de la, marginea figurinei este în sens contrar acelor de ceasornic, pornind de la punct. De exemplu, conform primei formule (5), găsim
Notă. Este util să ne amintim că zona delimitată de o elipsă cu semiaxuri. este definit prin formula
Exemplul 8. Găsiți zona delimitată de axa abscisei și prima arcadă a cicloidului
Un cicloid descrie un punct de cerc de rază. fără a aluneca în linie dreaptă. Cercul complet se schimbă când parametrul este modificat de la 0 la. trecând pe o linie dreaptă. Dacă da. atunci. în cazul în care. atunci.
Prin formula (4) găsim
Zona delimitată de o arcadă a cicloidului și axa absciselor este egală cu aria triplă a cercului de formare.