Un număr real este reprezentat de o fracție continuă cu parțial integral (write) dacă
Exemplu ("secțiunea de aur"):
J. Lagrange a demonstrat că secvența fracțiunilor parțiale parțiale (pornind de la un anumit loc) este periodică dacă și numai dacă numărul este o iraționalitate patratică.
RO Kuz'min a demonstrat că, în ordinea numerelor parțiale parțiale de aproape orice număr real, fracțiunea de numere parțiale parțiale egale este aceeași (pentru numere reale tipice). Fracțiunea scade ca "/> iar magnitudinea lui a fost prezisă de Gauss (nimic nu sa dovedit).
VI Arnold a sugerat (acum 20 de ani), ipoteza că statisticile Gauss- Kuzmin se efectuează și pentru perioadele de fracțiuni continue ale rădăcinilor ecuații pătratice (cu număr întreg și) dacă vom scrie împreună coeficientii parțiale, toate perioadele de fracțiuni continue ale rădăcinilor ecuații, atunci proporția de incomplete private dintre ei va avea tendința de a ajunge la un număr de. VA Bykovskii și elevii săi de la Khabarovsk au dovedit recent această ipoteză îndelungată.
În ciuda acestui fapt, problema statisticilor nu este litera, dar cuvintele compuse din ele, care sunt perioade de fracții continue ale unor rădăcini ale ecuațiilor x, sunt departe de a fi rezolvate.
Și anume, statisticile de astfel de cuvinte nu coincide cu statisticile de cuvinte aleatorii din coeficientii parțiale care îndeplinesc statisticile Gauss-Kuz'min (chiar dacă cuvintele se potrivească pentru toate secvențele finite de coeficienti parțiale, nu numai pentru valorile lor individuale).
Aceeași proprietate a palindromiei este posedată de fracții continue de rădăcini pătrate ale numerelor raționale (Galois deja a notat acest lucru pentru rădăcinile întregi). Din statisticile lui Gauss-Kuzmin palindromicitatea nu urmează.
Dar considerații entopiyno-criptografice arată că, cu excepția palindrom, perioadele de fracțiuni continue de rădăcini pătrate de numere raționale (și rădăcinile ecuații pătratice cu coeficienți întregi) ar trebui să aibă mai multe proprietăți speciale (care sunt încă să fie descoperite).
O altă serie de rezultate privind statisticile fracțiilor continue periodice descrie comportamentul lungimii perioadei a fracției a continuat rădăcina ecuației (egală cu una pentru secțiunea de aur). Valoarea medie (R) „/> perioadă de lungime într-un cerc cu raza crește liniar (deși durata perioadei crește în mod diferit ca distanța de la sol în direcții diferite), cu această creștere se aseamănă cu comportamentul rădăcina pătrată a ecuației discriminant considerată. (În cazul în care rădăcinile sunt raționale, perioada este considerată zero).
Raportul mai mult decât ipoteze, dintre care studiul este disponibil pentru elevi, în special înarmați cu computere decât teoremele de mai sus (și, în plus, dovezi): Se presupune că elevii vor deschide pe modul în care noile proprietăți ale fracțiilor continue pentru iraționalități pătratice.
Arnold Vladimir Igorevich, doctor în științe fizice și matematice, academician al Academiei de Științe din Rusia.
Proskuryakov I.V.
Cursul este un buchet de trei idei foarte vechi și trei foarte noi. Obiectul principal este numărul de puncte întregi (adică cu coordonate întregi) în polyedron. De ce avem nevoie de puncte întregi? Câteva exemple: polyhedronul lui Newton, teorema lui Brion - pentru a începe fără dovezi, ca un accent, și numărarea unor grafice de bandă metrice întregi. Numărul de puncte integrale dintr-un poliedru convex se comportă ca un polinom. Conform construcției, într-un polinom care calculează numărul de puncte întregi, este logic să înlocuiți numai numerele pozitive. Pentru a da inteles substituției negative, avem nevoie de polyhedra virtuală. Dualitatea lui Earhart și generalizarea lui naturală. Secretul concentrării lui Brion.
Alexey Belov, Ivan Mitrofanov
În acest curs, vom vorbi despre sisteme de substituție de tip destul de general și de construcții geometrice conexe, numite fracturi Rosie. De exemplu, cuvântul Tribonacci 121312112131 ... constă din cifre și este obținut prin înlocuirea lui 1 → 12, 2 → 13, 3 → 1. Se pare că într-un anumit sens este aranjat în același mod ca un torus bidimensional, împărțit în trei părți cu o graniță fractală. (Faptul că prima figură descrie o măturică a torusului este greu de crezut, dar totuși este așa, iar a doua imagine ilustrează acest lucru).
