Prelegerea 15. SOLUȚIONAREA PROBLEMEI CAUCHIEI PENTRU EQUATIONUL DE CĂI
Poziționăm problema Cauchy pentru o ecuație de undă omogenă care descrie oscilațiile libere ale unui șir omogen, adică găsim o soluție de ecuație
satisfacerea condițiilor inițiale
Această problemă (15.1), (15.2) poate fi rezolvată prin metoda d'Alembert.
Să facem trecerea la forma canonică a ecuației (15.1) cu ajutorul integralelor generale ale ecuației caracteristice (13.3). În cazul nostru, această ecuație are forma:
În consecință, C1 și C2 determină ecuațiile familiilor caracteristice. Apoi transformarea variabilelor independente (13.5) va avea forma
Calculăm în variabile noi:
și înlocuiți-le în ecuația (15.1)
După abrevieri, ajungem
Integrarea acestei ecuații dă
Revenind la variabilele x și y. în cele din urmă
Funcția este o soluție de (15.1) dacă u1 și u2 sunt funcții arbitrare de două ori diferențiate. În soluția (15.4), este necesar să se aleagă funcțiile u1 și u2 astfel încât să satisfacă condițiile inițiale (15.2)
Ecuația integrării (15.6) în intervalul de la x0 la x. avem
Rezolvând împreună ecuațiile (15.5) și (15.7) cu privire la u1 (x) și u2 (x), obținem
Substituiind (15.8) și (15.9) în soluție (15.4), obținem în final soluția cauzei Cauchy pentru ecuația de undă omogenă
Formula (15.10) este numită formula d'Alembert pentru o ecuație de undă omogenă care descrie oscilațiile libere ale unui șir omogen. Această formulă dă soluția clasică (15.1) - (15.2) numai în ipoteza că funcția are instrumente derivate până la ordinul doi, iar funcția - pentru primul.
Soluția problemei Cauchy a unei ecuații de undă neomogenă care descrie oscilațiile forțate ale unui șir omogen
satisfacerea condițiilor inițiale
pot fi obținute din formula
Aceasta este formula lui d'Alembert. care oferă o soluție a problemei Cauchy pentru o ecuație de undă neomogenă care descrie vibrațiile forțate ale unui șir omogen.
Exemplul 15.1. Găsiți soluția de ecuație
satisfacerea condițiilor inițiale
▲ Pentru a găsi soluția problemei inițiale Cauchy, folosim formula d'Alembert (15.10)
În cele din urmă, soluția problemei originale are forma
Exemplul 15.2. Găsiți soluția de ecuație
satisfacerea condițiilor inițiale
▲ Pentru a găsi soluția problemei inițiale Cauchy, folosim formula d'Alembert (15.10)
În cele din urmă, soluția problemei originale are forma
Exemplul 15.3. Găsiți soluția de ecuație
satisfacerea condițiilor inițiale
▲ Pentru a găsi soluția problemei originale Cauchy, folosim formula d'Alembert (15.13)
În cele din urmă, soluția problemei originale are forma