Sarcina de a fugi este Liouville

Problema lui Sturm - Liouville. numit după Jacques Charles François Sturm și Joseph Liouville. constă în găsirea de soluții nontrivială (adică distincte de identitatea zero) pe interval $(a,\; b;\; b)$ Ecuațiile Sturm-Liouville

\ alpha _1 y '(a) + \ beta _1 y (a) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_1 + \ beta ^ 2_1 \ ne 0; \\ alfa _2 y '(b) + \ beta _2 y (b) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_2 + \ beta ^ 2_2 \ ne 0; \\ \ end și valorile parametrilor $\backslash \; lambda$, la care există astfel de soluții.

operator $L\; [y]$ aici este funcția funcției $y\; (x)$ operatorul diferențial liniar secundar al formularului

(operatorul Sturm-Liouville sau operatorul Schrodinger); $x$ Este un adevărat argument.

funcții $p\; (x),\; \backslash ;\; p\; \text{'}(x),\; \backslash ;\; q\; (x),\; \backslash \backslash \; rho\; (x)$ se presupune că sunt continuu $(a,\; b;\; b)$, în plus funcții $p\; (x),\; \backslash \backslash \; rho\; (x)$ pozitiv pentru $(a,\; b;\; b)$.

Soluțiile nontriviale necesare se numesc funcțiile proprii ale acestei probleme și valorile $\backslash \; lambda$, sub care există o astfel de soluție - prin propriile sale valori (fiecare valoare proprie corespunde funcției proprii).

Formularea problemei

Forma ecuației

Dacă funcțiile $\backslash \; rho$ și $p$ sunt de două ori continuu diferențiate și pozitive pe interval $[a,\; b]$ și funcția $q$ continuu pe $[a,\; b]$, apoi ecuația Sturm-Liouville a formei

$(p\; (x)\; y\; \text{'})\text{'}\; -\; q\; (x)\; y\; +\; \backslash \; lambda\; \backslash \; rho\; (x)\; y\; =\; 0$

cu ajutorul transformării Liouville este redusă la forma

Prin urmare, considerăm adesea ecuația Sturm-Liouville în forma (1), funcția $q\; (x)$ numit potențial Template: Sfn Template: Sfn. Problemele Sturm-Liouville cu potențiale din diferite clase de funcții sunt studiate: continuu. $L$ (Summable) $L\_2$ și altele.

Tipuri de condiții limită

• Condițiile Dirichlet $y\; (a)\; =\; y\; (b)\; =\; 0.$
• Condiții Neumann $y\; \text{'}(a)\; =\; y\text{'}\; (b)\; =\; 0$
• Condițiile lui Robin $y\; \text{'}(a)\; -\; h\; y\; (a)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; y\text{'}\; (b)\; +\; H\; y\; (b)\; =\; 0.$
• Condiții mixte: condiții de diferite specii la capete diferite ale segmentului $[a,\; b]$.
• Condițiile limită de degradare ale formei generale

\ alpha _1 y '(a) + \ beta _1 y (a) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_1 + \ beta ^ 2_1 \ ne 0; \\ alfa _2 y '(b) + \ beta_2 y (b) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_2 + \ beta ^ 2_2 \ ne 0. \\

• Condiții periodice $y\; (a)\; =\; y\; (b),\; \backslash \; quad\; y\; \text{'}(a)\; =\; y\text{'}\; (b)$.
• Condiții antiperiodice $y\; (a)\; =\; -y\; (b),\; \backslash \; quad\; y\; \text{'}(a)\; =\; -y\text{'}\; (b)$.
• Condiții generale de frontieră

În ultimul caz, de obicei, impunem condiții suplimentare de regularitate asupra coeficienților $a\_$. Format: Sfn Format: Sfn

Pentru confort, un segment arbitrar $[a,\; b]$ adesea traduse într-un segment $[0,\; l]$ sau $[0,\; \backslash \; pi]$ prin modificarea variabilei.

Operatorul Sturm-Liouville

Operatorul Sturm-Liouville

$L\; x\; =\; -\; \backslash \; frac\; \backslash \; Bigl\; (\backslash \; frac\; \backslash \; left\; [p\; (x)\; \backslash \; fracție\; \backslash \; dreapta]\; -\; q\; (x)$

este un caz particular al unui operator diferențial liniar

Domeniul operatorului $L$ constă din două rapoarte continuu diferențiate pe interval $[a,\; b]$ funcție $y$, satisfăcând condițiile limită ale problemei Sturm-Liouville. Astfel, problema Sturm-Liouville poate fi privită ca o problemă asupra valorilor proprii și a funcțiilor proprii ale operatorului $L$: $L\; y\; =\; \backslash \; lambda\; y$. Dacă funcțiile $p$, $q$, $\backslash \; rho$ iar coeficienții condițiilor limită sunt reali. operator $L$ se auto-adăpostește într-un spațiu Hilbert $L\_2\; ([a,\; b],\; \backslash \; rho\; (x)\; \backslash ,\; dx)$. În consecință, valorile proprii sunt reale și funcțiile proprii sunt ortogonale cu greutate $\backslash \; rho\; (x)$.

Rezolvarea problemei

Soluția problemei Sturm-Liouville cu potențial zero:

-y = \ lambda y, \ qquad (2)

y (0) = y (1) = 0 poate fi găsit într-o formă explicită. lăsa $\backslash \; lambda\; =\; \backslash \; rho\; ^\; 2$. Soluția generală a ecuației (2) pentru fiecare măsură fixă $\backslash \; lambda$ are forma

y (x) = A \ frac + B \ cos \ rho x \ qquad (3) (în special cu $\backslash \; rho\; =\; 0$ (3) $y\; (x)\; =\; ax\; +\; B$). din $y\; (0)\; =\; 0$ ar trebui să fie $B\; =\; 0$. Înlocuindu-se (3) în condiția limită $y\; (l)\; =\; 0$, avem $A\; \backslash \; frac\; =\; 0$. Din moment ce căutăm soluții non-triviale, atunci $A\; \backslash \; ne\; 0$, și ajungem la ecuația eigenvalue

\ frac = 0. Rădăcinile sale $\backslash \; rho\_n\; =\; \backslash \; frac$, în consecință, valorile proprii dorite au forma

\ lambda_n = \ stânga (\ frac \ right) ^ 2, \ quad n = 1, 2, 3, \ dots Funcțiile personale corespunzătoare sunt

y_n (x) = \ sin \ fracx, \ quad n = 1, 2, 3, \ puncte (într-un multiplicator constant).

Caz general

În cazul general, orice soluție a ecuației Sturm-Liouville

$-y\; +\; q\; (x)\; y\; =\; \backslash \; lambda\; y\; \backslash \; qquad\; (4)$

$y\; (x)\; =\; A\; S\; (x,\; \backslash \; lambda)\; +\; B\; C\; (x,\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; qquad\; (5)$

deciziile sale $S\; (x,\; \backslash \; lambda)$ și $C\; (x,\; \backslash \; lambda)$, satisfacerea condițiilor inițiale

$S\; (0,\; \backslash \; lambda)\; =\; C\; \text{'}(0,\; \backslash \; lambda)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; S\text{'}\; (0,\; \backslash \; lambda)\; =\; C$.

soluţii $S\; (x,\; \backslash \; lambda)$ și $C\; (x,\; \backslash \; lambda)$ formează un sistem fundamental de soluții de ecuație (4) și sunt funcții întregi în $\backslash \; lambda$ pentru fiecare fix $x$. (Când $q\; (x)\; \backslash \; equiv\; 0$ $S\; (x,\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; rho\; x$, $C\; (x,\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; rho\; x$, $\backslash \; rho\; =\; \backslash \; sqrt\; \backslash \; lambda$). Înlocuind (5) condițiile de graniță $y\; (0)\; =\; y\; (\backslash \; pi)\; =\; 0$, găsim că valorile proprii coincid cu zerourile funcției caracteristice

$\backslash \; Delta\; (\backslash \; lambda)\; =\; S\; (\backslash \; pi,\; \backslash \; lambda),$

În cazul general, valorile proprii și funcțiile proprii nu pot fi găsite în mod explicit, ci se obțin formule asimptotice pentru ele:

$\backslash \; sqrac\; \backslash \; lambda\_n\; =\; n\; +\; \backslash \; frac\; +\; O\; \backslash \; stânga\; (\backslash \; frac\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; c\; =\; \backslash \; frac\; \backslash \; int\_0\; ^\; q\; (\backslash \; tau)$ $y\_n\; (x)\; =\; \backslash \; sin\; n\; x\; +\; O\; \backslash \; stânga\; (\backslash \; frac\; \backslash \; dreapta),$

(în cazul unui proces continuu $[0,\; \backslash \; pi]$ potențial $q\; (x)$) Model: Sfn Pentru mari $n$ valorile proprii și funcțiile proprii sunt apropiate de valorile proprii și de funcțiile proprii ale problemei din exemplul cu potențial zero.

Proprietățile valorilor proprii și ale funcțiilor proprii

• Există un set infinit de numere proprii: .
• La fiecare valoare proprie $\backslash \; lambda\_n$ corespunde unei funcții proprii unice, până la un factor constant $y\_n$.
• Toate valorile proprii sunt reale.
• În cazul condițiilor limită $y\; (a)\; =\; y\; (b)\; =\; 0$ și dacă este condiție $q\; (x)\; \backslash \; geqslant\; 0$ toate valorile proprii sunt pozitive $\backslash \; lambda\_n>\; 0$.
• Funcții personalizate $y\_n\; (x)$ forma pe $[a,\; \backslash ;\; b]$ ortogonal cu greutate $\backslash \; rho\; (x)$ sistemul $\backslash$:

• Teorema lui Steklov deține.

Metode numerice de rezolvare

• Metoda de fotografiere. Pentru a rezolva problema Sturm-Liouville cu condițiile de graniță Dirichlet $y\; (a)\; =\; y\; (b)\; =\; 0$, putem lua pentru ecuația inițială problema Cauchy cu condițiile inițiale $u\; (a)\; =\; 0$, $u\; \text{'}(a)\; =\; 1$ și conduceți ajustarea parametrilor $\backslash \; lambda$ înainte de executarea condiției de limită dreapta. Model: Sfn
• Metoda diferențelor finite Format: Sfn [1]. Se construiește o aproximație cu diferență finită care ne permite să înlocuim problema Sturm-Liouville prin găsirea valorilor proprii ale matricei.
• Metoda vectorială completă. Diferența de funcționare este completat de un $y\_\; =\; \backslash \; lambda$. În ceea ce privește vectorul augmentat, obținem un sistem neliniar care poate fi rezolvat prin metoda Newton. Modelul: Sfn
• Metoda lui Galerkin Model: Sfn
• Metode variate. [2]

Aplicarea la soluția ecuațiilor diferențiale parțiale

De exemplu, considerăm problema de valoare limită pentru o ecuație de tip hiperbolic.

$(h\_1\; u\_x\; -\; h\; u)\; \_\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; (H\_1\; u\_x\; +\; H\; u)\; \_\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; (7)$ $u\_\; =\; \backslash \; Phi\; (x),\; \backslash \; quad\; u\_\; =\; \backslash \; Psi\; (x).\; \backslash \; qquad\; (8)$

aici $x$ și $T$ Sunt variabile independente. $u\; (x,\; t)$ Este o funcție necunoscută, $\backslash \; rho$, $k$, $q$, $\backslash \; Phi$, $\backslash \; Psi$ - funcții cunoscute, $h,\; h\_1,\; H,\; H\_1$ (6), care îndeplinesc condițiile de graniță (7) sub formă

$u\; (x,\; t)\; =\; Y\; (x)\; T\; (t)\; \backslash \; qquad\; (9)$.

Substituția formei (9) în ecuația (6) dă

deoarece $x$ și $T$ - variabile independente, atunci egalitatea este posibilă numai dacă ambele fracții sunt egale cu o constantă. Denumiți această constantă prin $-\backslash \; lambda$. Avem

$T\; (t)\; +\; \backslash \; lambda\; T\; (t)\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; (10)$

Înlocuirea formei (9) în condițiile de graniță (7) dă

$(1)\; +\; H\; Y\; (l)\; =\; 0.\; \backslash \; qquad\; (12)$

Soluțiile nontriviale (6) - (7) ale formularului (9) există numai pentru valori $\backslash \; lambda$, care sunt valorile proprii ale problemei Sturm-Liouville (11) - (12) $\backslash \; lambda\_n$. Aceste soluții au forma $T\_n\; (t)\; Y\_n\; (x)$, unde $Y\_n\; (x)$ Sunt funcțiile proprii ale problemelor (11) - (12), $T\_n\; (t)$ - soluții ale ecuației (10) cu $\backslash \; lambda\; =\; \backslash \; lambda\_n$. Soluția problemei (6) - (8) este sub forma unei sume de soluții particulare (seria Fourier în funcțiile proprii ale problemei Sturm-Liouville $Y\_n\; (x)$):

$u\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; suma\_\; ^\; T\_n\; (t)\; Y\_n\; (x).$

Probleme inverse ale Sturm-Liouville

Problemele inverse de la Sturm-Liouville constau în restabilirea potențialului $q\; (x)$ operatorul Sturm-Liouville $-y\; +\; q\; (x)\; y$ și coeficienții condițiilor de graniță prin caracteristicile spectrale Modelul Sfn Template Sfn Problemele inverse ale lui Sturm-Liouville și generalizările lor au aplicații în mecanică. fizica. electronica. geofizica. Meteorologie și alte domenii ale științei și tehnologiei. Există o metodă importantă de integrare a ecuațiilor evoluției neliniare (de exemplu, ecuația KdV) asociată cu utilizarea problemei inverse Sturm-Liouville pe axă

Un singur spectru (un set de valori proprii) nu este, de obicei, suficient pentru recuperarea unică a operatorului. Prin urmare, ca date inițiale ale problemei inverse, se folosesc de obicei următoarele caracteristici spectrale:

1. Două spectre care corespund unor condiții limită diferite (problema Borg).
2. Datele spectrale incluzând valori proprii și numere de greutate egale cu pătratele normelor funcțiilor proprii în spațiu $L\_2$.
3. Funcția Weyl este o funcție meromorfă. egală cu raportul dintre cele două funcții caracteristice ale diferitelor probleme de valoare a limitelor.

Fiecare set de date 1-3 identifică în mod unic potențialul $q\; (x)$. În plus, specificarea funcției Weil este echivalentă cu specificarea a două date spectrale sau spectrale, astfel încât problemele inverse ale datelor 1-3 sunt echivalente. Există metode constructive pentru rezolvarea problemelor inverse Sturm-Liouville bazate pe reducerea problemelor inverse neliniare la ecuațiile liniare în anumite spații Banach.

notițe

literatură