Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Înregistrare matricială a sistemului și metoda matricei pentru rezolvarea acestuia.

Să luăm în considerare cazul cel mai general.
Să presupunem că avem un sistem

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

ecuații algebrice liniare cu

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

necunoscut

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

Trei matrici sunt asociate cu acest sistem:
coeficient de matrice

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

dimensiune

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

;
vector de coloane necunoscute

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

dimensiune

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

;
iar vectorul coloanei termenilor liberi este partea dreaptă a lui

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

dimensiune

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

.
Prin definirea produsului matricelor, matricea

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

poate fi înmulțită cu o matrice

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

.
Să găsim acest produs.

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

Ca rezultat, am obținut o matrice de dimensiune

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

. adică un vector de coloană cu

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

elemente.
Comparând matricea obținută cu partea stângă a sistemului de ecuații dat, observăm că elementele vectorului coloanei rezultate sunt egale cu elementele corespunzătoare ale vectorului coloanei termenilor liberi.

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

Astfel, ajungem la o reprezentare matrice a unui sistem de ecuații liniare.

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

Scopul soluționării sistemului este de a găsi totul

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

necunoscut, adică găsirea unei coloane vectoriale

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

. ale căror elemente sunt necunoscute necunoscute.
În cazul în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

,adică o matrice

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

pătrat, soluția sistemului poate fi găsită utilizând matricea inversă.
Deci, având în vedere matricea

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

pătrat, găsim

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

din ecuația matricei rezultate

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

. Pentru aceasta, înmulțim ambele părți ale acestei ecuații cu matricea

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

. inversă a matricei

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

. Avem

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

Din moment ce

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

- matricea de identitate, avem

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

și deoarece, atunci când se înmulțește cu o matrice unitară, matricea nu se schimbă, obținem în final soluția sistemului:

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

Rămâne de remarcat că transformările de mai sus sunt posibile numai dacă determinantul matricei

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$

nu este egal cu zero, altfel matricea inversă pur și simplu nu există.

Astfel, metoda matricei pentru rezolvarea sistemelor poate fi formulată după cum urmează:

În cazul în care coeficienții matricei sistemului este pătrat și non-singular, pentru a găsi vectorul coloană de matrice inversă necesară necunoscută la matricea coeficienților înmulțită cu vectorul coloană de termeni constante.

Să fie dat un sistem de trei ecuații algebrice liniare cu trei necunoscute

$Metoda Ra pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare$