asimptotă verticală acolo, ele arată comportarea funcției în vecinătatea unui punct singular, atunci când, și înclinat, oferind o idee despre comportamentul funcției de la.
Dacă punctul singular, ecuația asimptota verticală.
Teorema. Curba are o asimptotă înclinată la a cărui ecuație, dacă valoarea finită și să accepte.
Dovada. Din definiția urmează asymptotes unde infinitezimale la, respectiv. Rămâne să se determine parametrii ecuației de asimptota. Pentru a face acest lucru, evaluăm. Astfel, în cazul în care ambele limite există și sunt finite, iar parametrii liniei determinat, punctul acestei linii cu puncte convergente infinit curbe la.
Exemplu. . Este clar că - ecuația asimptotă verticală.
.
asimptotă Înclinat cu o ecuație are.
Studiul funcției, calendarul de construcție,
I. Studiul funcției în sine. trebuie să instalați
1) Domeniul funcției, punctele sale singulare, asymptotes verticale.
2) Punctele de intersecție a curbei cu axele de coordonate
3) Funcția este chiar, ciudat, sau o formă generală
4) Funcția este periodică sau nu periodică
II. Un studiu al funcției derivatului. Este necesar să se definească
1) punctele maxime și funcțiile minime
2) intervale creștere și descreștere a funcției
III. Studiul al doilea derivat
1) Punctele de inflexiune
2) Intervalele de convexitate și concavitate de
IV. Studiu comportamentul funcției la. asimptotă Înclinat.
Ca un exemplu, ia în considerare funcția
1. Domeniul de existența unei funcții - axa întreaga reală, adică. Prin urmare, această curbă este nici un punct singular, și nici asymptotes verticale.
2. Curba intersectează axele de coordonate la origine. În consecință, primul punct caracteristic al graficului.
3. Curba este ciudat: prin urmare, este simetrică cu privire la originea.
4. non-periodică a funcției.
II. 1. Definim primul derivat, echivalând-l la zero, ceea ce implică încă două puncte specifice (critice), coordonatele acestor puncte în plan. Luați în considerare primul dintre aceste puncte, în stânga derivatul său, la dreapta, prin urmare, acest punct minim. În partea stângă a dreptului derivat este negativ, atunci acesta este punctul funcției maxime.
2. Semnul primei derivate este determinată de expresie, deci este pozitiv asupra intervalului, în alte domenii este negativ. Astfel, funcția scade în intervalul, creșterile de interval, apoi scade din nou la.
III. 1. Definiți derivata a doua a funcției:
.
Egalăm derivatul la zero, și obținem trei puncte caracteristice ale funcției, dintre care unul este deja cunoscut. Și celelalte două. ei au coordonatele pe un plan de coordonate. Semnul doilea derivat este determinat de numărător. La stânga este negativ, spre dreapta. Prin urmare, acesta este un punct de inflexiune. Au plecat de la dreapta. un alt punct de inflexiune. Stânga punctului vom ajunge la dreapta, al treilea punct de inflexiune.
2. Deoarece celelalte puncte la care a doua modificările derivate se înscriu în funcția nu este prezent, se poate argumenta că intervalul unei curbe convexe, o curbă concavă în intervalul, curba convexă interval din nou, și în final, în intervalul - concav.
IY. Determinarea pantei asimptota curbei, asimptota ecuație, în care
,
,
Deoarece asimptotă ecuație, funcția asimptota este axa.
Ca urmare, graficul formei
Cifra observată în mod clar punctele maxime și minime și are trei puncte de inflexiune. De asemenea, a se vedea că curba „presat“ la axa de tinzând atât plus și minus infinit la asimptotă în consecință uniformă.
Să considerăm un exemplu cu un rezultat design diferit. Să. Regiunea de existență a acestei funcții - axa reală ansamblu, pe lângă punctul. Funcția aperiodic (fără funcții trigonometrice), forma generală (nici măcar, nu nui adevărat).
Noi definim mai întâi toate punctele caracteristice ale graficului, adică, punctul de intersecție cu axele de coordonate, puncte singulare, puncte maxime și minime, punctele de inflexiune. În acest scop, vom calcula prima și a doua derivații
,
.
Explorarea funcției și derivații săi, vom stabili că există un punct singular și are trei puncte caracteristice ,.