Teorema 4 (a doua extremum suficient de test). Dacă punctul este înconjurat de un al doilea derivat continuu, și. și atunci funcția este maximă atunci când și cel puțin atunci când.
Dovada. Să. Având în vedere continuitatea, există un anumit punct al mediului în care. Prin urmare, în acest mediu, funcția va fi în scădere, după cum derivatul său - - negativ. Dar, prin urmare, în tranziție (de la stânga la dreapta), prin punctul de modificările funcției semn de la plus la minus. Acest lucru înseamnă că, la punctul de funcția are un maxim.
În mod similar, putem dovedi că, și atunci când, apoi - cel puțin funcția.
În cazul în care un anumit punct critic, atunci a doua regulă nu este aplicabilă, iar studiul trebuie efectuate folosind primul derivat (bazat pe teorema 3).
Exemplul 3. Investigarea pentru maximele si minimele.
Găsim derivatul.
Echivala la zero și de a găsi rădăcinile sale, care este punctul critic
Calculăm derivata a doua
Înlocuind în expresia a doua derivată a găsit rădăcinile primei derivate, obținem (regula nu este aplicabilă) (maxim), (cel puțin).
Datorită faptului că, recurge la prima regulă. Avem la la (încă).
Derivatul nu se schimbă semnul, extremelor la punctul nr.
Cu maxime și minime ale teoriei functiilor sunt rezolvate numeroase probleme de geometrie, economie, mecanică și alte științe.
4.3. Fiind cele mai mici și cele mai mari valori
Să luăm în considerare problema de a găsi cele mai mici și cele mai mari valori ale continua pe intervalul [a, b]. Prin Weierstrass teorema (.., A se vedea capitolul 7, § 1) este necesară pentru a dobândi o funcție a acestor valori, la anumite puncte [a, b]. Acesta poate fi ca un punct interior, și capetele sale.
În consecință, pentru a găsi cea mai mică (mai mare), valoare în mod continuu [a, b] funcțiile necesare pentru a găsi extremelor local la (a, b) și să le compare cu valorile. Cea mai mică (mai) dintre aceste valori și este cea mai mică (mai mare), funcția de valoare pe intervalul [a, b].
Se poate întâmpla ca funcția pe (a, b) nu are puncte de extremum. În acest caz, ei cea mai mică (cea mai mare) valoare se numără printre valorile și.
În activitatea practică trebuie să se țină seama de faptul că, deoarece cea mai mică (cea mai mare) valoarea este realizată la punctele critice sau la punctele finale, nu este necesar să se verifice disponibilitatea unor condiții suficiente extremum a funcției în punctele critice. Este suficient pentru a găsi valorile funcției la toate punctele critice și să le compare cu valorile. Cel mai mic (mai) dintre ele este cea mai mică valoare (cea mai mare) a funcției pe [a, b].
Exemplul 4. Din punctul A, care se află pe linia dreaptă a căii ferate, în punctul B, care se află pe linia de la distanță, aveți nevoie pentru a transporta mărfuri. Costul transportului de mărfuri pe cale ferată unități distanța unitate și rutier sunt, respectiv, m și n. Pentru ce punct linii de cale ferată M ar trebui să deschidă calea pentru transportul mărfurilor de la A la B a fost cel mai economic?
apoi (Fig. 54a). K Costul transportului unităților de transport pe drum se va face VM, MA de cale ferată - respectiv. Costul total al transpunerii încărcăturii
Găsiți cea mai mică valoare a acestei funcții la.
și egalează-l la zero, obținem o ecuație a cărei soluție determină punctul critic unic. Este ușor de verificat că derivatul în acest moment se schimbă semnul de la minus la plus. Prin urmare, în cazul în care, adică, CM
Asimilarea-l la zero și de a găsi un punct fix:
Aplicarea a doua regulă, vom găsi derivata a doua și a obține
Calculăm o a doua valoare derivat de la punctul de staționare. atunci când aveți
prin urmare, în funcție de condiția suficientă a doilea tip are un punct de minim al funcției
Exemplul 11. Găsiți cel mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe intervalul [-2,3].
adică punctele staționare.
Noi determinăm valoarea funcției la aceste puncte.
Se calculează valoarea acestei funcții la limitele intervalului :.
Din aceste patru valori selectați cea mai mare și cea mai mică. Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției la un interval predeterminat este 2, iar cea mai mică este egal cu -18.
Exemplul 12. Găsiți punctul de inflexiune și intervalele de convexitate
Δ vom găsi derivat și al doilea derivat și de a construi un tabel, având în vedere că.
Prin urmare, intervalul programa o funcție concavă, iar diferența este convex. Punctul în care a doua modificările derivate de la semn „+“ la „-“ punctul de inflexiune al graficului.
Exemplul 13. Găsirea asimptota curbelor a); b).
a) a funcției are o asimptotă verticală. în mod evident,
Funcția are o discontinuitate de al doilea tip.
Găsim panta asimptota:
Prin urmare, este asimptotă înclinată a curbei
b) In mod clar, asimptota verticală a curbei nu. În cazul în care. Prin urmare axa x este asimptota orizontală a curbei. Noi investigăm prezența asimptota înclinată:
Prin urmare, există doar o asimptotă orizontală.
Exemplul 14. Pentru a investiga funcția
Și de a construi programul ei.
1. definiții ÿ de câmp. Funcția de abur, deoarece graficul ei este simetrică față de axa y.
2. asimptota verticală acolo, pentru că funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x.
Comportamentul funcției la infinit:
În virtutea funcției de împerechere, adică linia (axa x) - asimptota orizontală.
3. Intervalele și Extrema monotonie:
care este punctul critic.
Astfel, există un punct maxim, un punct minim, punctul maxim.
Funcția și crește în intervalele și scade (-1; 0) și.
4. Intervale de convexitate și punctele de inflexiune și concavitate:
Astfel, funcția convexă la intervale
și concavă pe intervalul
și punctul de intersecție.
5 .. Ecuația are o soluție unică x = 0, adică, graficul trece prin origine.
Exemplul 15. Pentru a investiga funcția
și construi graficul acesteia.
1. definiții ÿ de câmp. Această caracteristică nu este nici abur, nici nepereche.
2. Funcția investigată are o asimptotă verticală x = 3. în mod evident,
De aceea, la x = 3, funcția are oa doua discontinuitate ordine. mai departe
Găsim panta asimptota.
Prin urmare, y = x + 3 este panta asimptota curbei.
3. calculăm derivata funcției și de a rezolva ecuația
Explorarea semnul derivat, un tabel